Question

1．已知{a_n}為等差數(shù)列，公差d＞0，a₃=7，a₄是a₁，a₁₃的等比中項(xiàng)．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)S_n為{a_n}的前n項(xiàng)和，${b_n}=\frac{{{a_n}{a_{n+1}}}}{S_n}$，求{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）由a₁、a₄、a₁₃成等比數(shù)列可得關(guān)于d的方程，解出d，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得結(jié)果；
（2）若b_n=$4+\frac{3}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$，利用裂項(xiàng)求和即可{b_n}的前n項(xiàng)和T_n

解答 解：（1）由a₃=7，可得a₁+2d=7，
由a₁，a₄，a₁₃成等比數(shù)列，且d＞0，可得${a_1}（{{a_1}+12d}）={（{{a_1}+3d}）^2}$，
即2a₁=3d．
解得a₁=3，d=2．
所以數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=2n+1．
（2）由（1）知，${S_n}=\frac{{n（{3+2n+1}）}}{2}={n^2}+2n$，
所以${b_n}=\frac{{{a_n}{a_{n+1}}}}{S_n}$=$\frac{{（{2n+1}）（{2n+3}）}}{{n（{n+2}）}}=\frac{{4{n^2}+8n+3}}{{n（{n+2}）}}$=$4+\frac{3}{{n（{n+2}）}}$=$4+\frac{3}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$
所以T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=$4n+\frac{3}{2}（1-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$=$4n+\frac{3}{2}（1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$=$4n+\frac{9}{4}-\frac{3}{2（n+1）}-\frac{3}{2（n+2）}$

點(diǎn)評(píng) 該題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式，考查裂項(xiàng)求和，屬于中檔題．