Question

4．給出命題：
①在空間中，垂直于同一平面的兩個(gè)平面平行；
②設(shè)l，m是不同的直線，α是一個(gè)平面，若l⊥α，l∥m，則m⊥α；
③已知α，β表示兩個(gè)不同平面，m為平面α內(nèi)的一條直線，“α⊥β”是“m⊥β”的充要條件；
④在三棱錐S-ABC中，SA⊥BC，SB⊥AC，則S在平面ABC內(nèi)的射影是△ABC的垂心；
⑤a，b是兩條異面直線，P為空間一點(diǎn)，過(guò)P總可以作一個(gè)平面與a，b之一垂直，與另一條平行．
其中，正確的命題是②④．（只填序號(hào)）

Answer 1

分析 ①根據(jù)線面垂直的性質(zhì)進(jìn)行判斷，
②根據(jù)線面垂直的判定定理進(jìn)行判斷，
③根據(jù)面面垂直和線面垂直的關(guān)系以及充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷，
④根據(jù)線面垂直的性質(zhì)結(jié)合三角形垂線的性質(zhì)進(jìn)行判斷，
⑤根據(jù)異面直線的性質(zhì)以及線面平行和線面垂直的性質(zhì)進(jìn)行判斷．

解答 解：①在空間中，垂直于同一平面的兩個(gè)平面平行或相交，故①錯(cuò)誤；
②設(shè)l，m是不同的直線，α是一個(gè)平面，若l⊥α，l∥m，根據(jù)直線平行和線面垂直的性質(zhì)得m⊥α；故②正確，
③已知α，β表示兩個(gè)不同平面，m為平面α內(nèi)的一條直線，根據(jù)面面垂直的判定定理得若m⊥β，則α⊥β，反之，不一定成立，即，“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分條件，故③錯(cuò)誤；
④在三棱錐S-ABC中，過(guò)S作SO⊥平面ABC，連接AO，BO，
則SO⊥BC，
∵SA⊥BC，SA∩AO=A，
∴BC⊥平面SAO，BC⊥AO，
∵SB⊥AC，∴同理可得AC⊥BO，
即S在平面ABC內(nèi)的射影是△ABC的垂心；故④正確，

⑤a，b是兩條異面直線，P為空間一點(diǎn)，過(guò)P總可以作一個(gè)平面與a，b之一垂直，與另一條平行，錯(cuò)誤．
只有當(dāng)a，b垂直時(shí)，才能作出滿足條件的平面，否則無(wú)法作出，故⑤錯(cuò)誤，
故正確的是②④，
故答案為：②④．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查命題的真假判斷，涉及空間線面平行，垂直以及異面直線的性質(zhì)的應(yīng)用，考查學(xué)生的推理和證明能力．