Question

設△ABC的內角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c，已知向量

m

=（b-a，sinC），向量

n

=（

1

2

b-c，sinB+sinA），且

m

∥

n

．
（1）求2sinBsinC-cos（B-C）的值；
（2）若a=2，b+c=3，求△ABC的面積．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算,正弦定理

專題：平面向量及應用

分析：（1）△ABC中，由條件利用兩個向量平行的性質和正弦定理可得 bc=2（b²+c²-a²），再由余弦定理求得cosA 的值，再利用三角恒等變換化簡2sinBsinC-cos（B-C）為-cos（B+C）=cosA，可得結果．
（2）若a=2，b+c=3，則由余弦定理求得bc=2，可得△ABC的面積為

1

2

bc•sinA 的值．

解答： 解：（1）△ABC中，由向量

m

=（b-a，sinC），向量

n

=（

1

2

b-c，sinB+sinA），且

m

∥

n

，
可得

1 2 b-c

b-a

=

sinA+sinB

sinC

，利用正弦定理可得

sinB-2sinC

2sinB-2sinA

=

sinA+sinB

sinC

，sinBsinC=2（sin²B+sin²C-sin²A）．
即bc=2（b²+c²-a²），再由余弦定理求得cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

1

4

．
∴2sinBsinC-cos（B-C）=2sinBsinC-cosBcosC-sinBsinC=-cos（B+C）=cosA=

1

4

．
（2）若a=2，b+c=3，則由余弦定理可得 a²=4=b²+c²-2bc•cosA=（b+c）²-3bc=9-

5

2

bc，求得bc=2，
故△ABC的面積為

1

2

bc•sinA=

1

2

•2•

15

4

=

15

4

．

點評：本題主要考查兩個向量平行的性質，正弦定理和余弦定理的應用，屬于中檔題．