Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率是

1

2

，其左、右頂點分別為A₁，A₂，B為短軸的一個端點，△A₁BA₂的面積為2

3

．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）直線l：x=2

2

與x軸交于點D，點P是橢圓C上異于A₁，A₂的動點，直線A₁P，A₂P分別交直線l于E，F(xiàn)兩點，證明：|DE|•|DE|恒為定值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）根據(jù)橢圓離心率是

1

2

，其左、右頂點分別為A₁，A₂，B為短軸的端點，△A₁BA₂的面積為2

3

，建立方程組，可求橢圓方程．
（2）A₁（-2，0），A₂（2，0）．設P（x₀，y₀），直線A₁P的方程為y=

y0

x0+2

（x+2），令x=2

2

，得|DE|=

(2 2 +2)y0

x0+2

，同理|DF|=

(2 2 -2)y0

x0-2

，由此能求出|DE|•|DF|為定值1．

解答： （1）解：由已知，可得

e= c a = 1 2 ab=2 3 a2=b2+c2

，
解得a=2，b=

3

． 
故所求橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1．   
（2）由題意可得：A₁（-2，0），A₂（2，0）．設P（x₀，y₀），
由題意可得：-2＜x₀＜2，
∴直線A₁P的方程為y=

y0

x0+2

（x+2），令x=2

2

，
則y=

(2 2 +2)y0

x0+2

，即|DE|=

(2 2 +2)y0

x0+2

，
同理：直線BP的方程為y=

y0

x0-2

（x-2），令x=2

2

，
則y=

(2 2 -2)y0

x0-2

，即|DF|=

(2 2 -2)y0

x0-2

，
所以|DE|•|DF|=

(2 2 +2)y0

x0+2

×

(2 2 -2)y0

x0-2

=

4y02

|x02-4|

=

4y02

4-x02

，
y₀²=4-x₀²，代入上式，得|DE|•|DF|=1，
故|DE|•|DF|為定值1．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查|DE|•|DE|恒為定值的證明，解題時要認真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．