Question

已知點(diǎn)M（4，0），點(diǎn)P在曲線y²=8x上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在曲線（x-2）²+y²=1上運(yùn)動(dòng)，則

|PM|2

|PQ|

的最小值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用,軌跡方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)圓心為F，則容易知道F為拋物線y²=8x的焦點(diǎn)，并且

|PM|2

|PQ|

最小時(shí)，PM經(jīng)過(guò)圓心F，設(shè)P（x，y），則：
|PM|²=（x-4）²+y²=（x-4）²+8x=x²+16，|PQ|=x+2+1=x+3，所以

|PM|2

|PQ|

=

x2+16

x+3

，求

x2+16

x+3

的最小值即可．

解答： 解：如下圖，設(shè)圓心為F，則F為拋物線y²=8x的焦點(diǎn)，該拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-2，設(shè)P（x，y），由拋物線的定義：
|PF|=x+2，要使

|PM|2

|PQ|

最小，則|PQ|需最大，如圖，|PQ|最大時(shí)，經(jīng)過(guò)圓心F，且圓F的半徑為1，∴|PQ|=|PF|+1=x+3，且|PM|=

(x-4)2+y2

=

(x-4)2+8x

=

x2+16

；
∴

|PM|2

|PQ|

=

x2+16

x+3

，令x+3=t（t≥3），則x=t-3，∴

|PM|2

|PQ|

=

(t-3)2+16

t

=t+

25

t

-6≥4，當(dāng)t=5時(shí)取“=“；
∴

|PM|2

|PQ|

的最小值是4．
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng)：考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，焦點(diǎn)坐標(biāo)公式，準(zhǔn)線方程，及拋物線的定義，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用基本不等式：a+b≥2

ab

(a，b＞0)求函數(shù)的最值．