Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，△ABC是正三角形，AC與BD的交點(diǎn)M是AC的中點(diǎn)，PA=AB=4，且∠CAD=30°，點(diǎn)N在線段PB上，且

BN

NP

=3．
（Ⅰ）求證：MN∥平面PDC；
（Ⅱ）求三棱錐N-PAC的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（I）通過(guò)證明線段成比例證明MN∥PD，利用直線 平面平行的判定定理證明MN∥平面PDC；
（II）連接PM，在△PBM中，過(guò)N作NE∥BM交PM于點(diǎn)E，由線面垂直的判定定理可得NE為三棱錐N-PAC的高，求出棱錐的底面積，代入棱錐體積公式，可得答案．

解答： 證明：（I）在正三角形ABC中，BM=2

3

，AC=AB=4，
在△ACD，因?yàn)镸為AC中點(diǎn)，DM⊥AC，
所以AD=CD
∠CAD=30°，
所以，DM=

2 3

3

，
所以BM：MD=3：1，
所以BN：NP=BM：MD，
所以MN∥PD，
又MN?平面PDC，PD?平面PDC，
所以MN∥平面PDC；
解：（II）∵PA⊥平面ABCD，BM?平面ABCD，
∴PA⊥BM，
又由BM⊥AC，AC∩PA=A，AC，PA?平面PAC，
∴BM⊥平面PAC，

連接PM，在△PBM中，過(guò)N作NE∥BM交PM于點(diǎn)E，
則NE⊥平面PAC，即NE為三棱錐N-PAC的高，
∵BM=2

3

，且

BN

NP

=3．
∴NE=

1

4

BM=

3

2

，
又∵△PAC的面積S=

1

2

×4×4=8，
故三棱錐N-PAC的體積V=

1

3

×8×

3

2

=

4 3

3

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是棱錐的體積，直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定及性質(zhì)，難度中檔．