Question

如圖所示的幾何體中，ABC-A₁B₁C₁為正三棱柱，點D在底面ABC中，且DA=DC=AC=2，AA₁=3，E為棱A₁C₁的中點．
（Ⅰ）證明：平面A₁C₁D⊥平面BDE；
（Ⅱ）求二面角C-DE-C₁的余弦值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,平面與平面垂直的判定

專題：計算題,證明題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）以A為坐標原點，AD，AA₁所在直線分別為x軸，y軸，建立空間直角坐標系．求出D，A₁，C₁，C，B，E的坐標，以及向量DE，A₁C₁，DE的坐標，證明它們垂直，再運用面面垂直的判定定理，即可得證；
（Ⅱ）求出

EC1

，

DC

的坐標，設(shè)平面C₁DE的一個法向量為

m

=（x，y，z），運用向量垂直的條件，求出法向量m，同理可得平面CDE的法向量

n

，再由兩向量的夾角公式，即可得到所求的余弦值．

解答： （Ⅰ）證明：由題意可知，△ACD與△ABC為全等的等邊三角形．以A為坐標原點，
AD，AA₁所在直線分別為x軸，z軸，建立空間直角坐標系．如圖所示，
D（2，0，0），A₁（0，0，3），C₁（1，

3

，1），C（1，

3

，0），B（-1，

3

，0），E（

1

2

，

3

2

，0）

DB

=（-3，

3

，0），

A1C1

=（1，

3

，0），

DE

=（-

3

2

，

3

2

，3），
∵

DB

•

A1C1

=-3+3=0，

DE

•

A1C1

=-

3

2

+

3

2

=0，
∴A₁C₁⊥DB，A₁C₁⊥DE，又DB∩DE=D，DB，DE?平面BDE_l，
∴A₁C₁⊥平面BDE，又A₁C₁?平面AC₁D，∴平面A₁C₁D⊥平面BDE；
（Ⅱ）解：

EC1

=（

1

2

，

3

2

，0），

DC

=（-1，

3

，0）
設(shè)平面C₁DE的一個法向量為

m

=（x，y，z），則

m • DE =- 3 2 x+ 3 2 y+3z=0 m • EC1 = 1 2 x+ 3 2 y=0

，令x=

3

，

m

=(

3

，-1，

2 3

3

)，
同理可得平面CDE的法向量

n

=（

3

，1，

3

3

），
∴cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

=

3-1+ 2 3

4+ 1 3 • 4+ 4 3

=

2 13

13

∵二面角為銳角二面角，∴二面角C-DE-C₁的余弦值為

2 13

13

．

點評：本題考查空間直線與平面的位置關(guān)系，考查線面、面面垂直的判定和性質(zhì)，同時考查二面角的平面角的求法，考查運用空間向量，證明線面垂直，以及應(yīng)用法向量求二面角的平面角，考查運算能力，屬于中檔題．