Question

11．已知函數(shù)f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$$\frac{1-ax}{x-1}$的圖象關(guān)于原點對稱，其中a為常數(shù)．
（1）求a的值；
（2）當(dāng)x∈（1，+∞）時，f（x）+log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x+1）＜m恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）若關(guān)于x的方程f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x+k）在[2，3]上有解，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)的奇偶性，求出a的值即可；
（2）求出f（x）+${log}_{\frac{1}{2}}$（x-1）=${log}_{\frac{1}{2}}$（1+x），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出m的范圍即可；
（3）問題轉(zhuǎn)化為k=$\frac{2}{x-1}$-x+1在[2，3]上有解，即g（x）=$\frac{2}{x-1}$-x+1在[2，3]上遞減，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出g（x）的值域，從而求出k的范圍即可．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于原點對稱，
∴函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），
即${log}_{\frac{1}{2}}$$\frac{1+ax}{-x-1}$=-${log}_{\frac{1}{2}}$$\frac{1-ax}{x-1}$=${log}_{\frac{1}{2}}$$\frac{x-1}{1-ax}$，
解得：a=-1或a=1（舍）；
（2）f（x）+${log}_{\frac{1}{2}}$（x-1）=${log}_{\frac{1}{2}}$$\frac{1+x}{1-x}$+${log}_{\frac{1}{2}}$（x-1）=${log}_{\frac{1}{2}}$（1+x），
x＞1時，${log}_{\frac{1}{2}}$（1+x）＜-1，
∵x∈（1，+∞）時，f（x）+${log}_{\frac{1}{2}}$（x-1）＜m恒成立，
∴m≥-1；
（3）由（1）得：f（x）=${log}_{\frac{1}{2}}$（x+k），
即${log}_{\frac{1}{2}}$$\frac{x+1}{x-1}$=${log}_{\frac{1}{2}}$（x+k），
即$\frac{x+1}{x-1}$=x+k，即k=$\frac{2}{x-1}$-x+1在[2，3]上有解，
g（x）=$\frac{2}{x-1}$-x+1在[2，3]上遞減，
g（x）的值域是[-1，1]，
∴k∈[-1，1]．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查函數(shù)的奇偶性以及函數(shù)的值域問題，是一道中檔題．