Question

設(shè)平面內(nèi)兩個(gè)向量

a

=（cosα，sinα），

b

=（cosβ，sinβ），且0＜α＜β＜π
（1）證明：（

a

+

b

）⊥（

a

-

b

）
（2）若兩個(gè)向量k

a

+

b

與

a

-k

b

的模相等，求β-α的值（k≠0，k∈R）．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：（1）利用向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系即可得出；
（2）利用數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、余弦函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：（1）證明：由 

a

=(cosα，sinα)，

b

=(cosβ，sinβ)知：
|

a

|=|

b

|=1，
(

a

+

b

)•(

a

-

b

)=|

a

|2-|

b

|2=0，
∴(

a

+

b

)⊥(

a

-

b

)．
（2）

a

•

b

=cosαcosβ+sinαsinβ=cos（α-β），
∵兩個(gè)向量k

a

+

b

與

a

-k

b

的模相等，
∴k2

a

2+

b

2+2k

a

•

b

=

a

2+k2

b

2-2k

a

•

b

，
化為cos（β-α）=0．
∵0＜α＜β＜π，
∴0＜β-α＜π．
∴β-α=

π

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、余弦函數(shù)的單調(diào)性，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．