Question

2．銳角三角形ABC的三內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊長(zhǎng)分別是a，b，c，且a，b，c滿足a²-b²+c²-ac=0
（1）求內(nèi)角B的大小；
（2）若b=1，求三角形ABC周長(zhǎng)的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，由a²-b²+c²-ac=0可得a²+c²-b²=ac，將其代入余弦定理cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$中，可得cosB=$\frac{1}{2}$，進(jìn)而可得B的值，即可得答案．
（2）先由正弦定理用角A、B表示出a、b，實(shí)現(xiàn)了邊向角的轉(zhuǎn)變，進(jìn)而轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)求值域問題求解．

解答 （本題滿分為14分）
解：（1）根據(jù)題意，a²-b²+c²-ac=0，則a²+c²-b²=ac，
則cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=$\frac{ac}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，
則∠B=60°；…（6分）
（2）∵b=1，∠B=60°，可得：A+C=120°，
∴a=$\frac{bsinA}{sinB}$=$\frac{2\sqrt{3}sinA}{3}$，
同理c=$\frac{csinC}{sinB}$=$\frac{2\sqrt{3}sinC}{3}$，
∴△ABC周長(zhǎng)=a+b+c
=1+$\frac{2\sqrt{3}sinA}{3}$+$\frac{2\sqrt{3}sinC}{3}$
=1+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$（sinA+sinC）
=1+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$[sinA+sin（120°-A）]
=1+2sin（A+30°），…（12分）
∵0＜A＜120°，
∴30°＜A+30°＜150°，sin（A+30°）∈（$\frac{1}{2}$，1]，
∴△ABC周長(zhǎng)的取值范圍為（2，3]．…（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦定理，余弦定理的運(yùn)用，關(guān)鍵是牢記余弦定理的公式，綜合考查了三角函數(shù)以及解三角形的有關(guān)知識(shí)，考查了學(xué)生的分析能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．