Question

一只山羊和一只狼分別在曲線f（x）=2x+

e3

x2

（x＞0）和g（x）=-x²+2ex+m-1上運(yùn)動．
（1）求山羊到直線y=1的最小距離；
（2）如果山羊沒有危險(xiǎn)，求m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的最值及其幾何意義,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)，導(dǎo)函數(shù)，帶入e，是一個極點(diǎn)，求得f（x）的最小值即可得出結(jié)論；
（2）山羊沒有危險(xiǎn)，就是兩個函數(shù)相減恒大于零或恒小于零，利用導(dǎo)數(shù)求得f（x）的最小值和g（x）的最大值，使得f（x）_min＞g（x）_max，解得即可．

解答： 解：（1）∵f（x）=2x+

e3

x2

（x＞0），
∴f′（x）=2-

2e3

x3

，
∴x=e是方程的三次方根，
∴當(dāng)x＞e時，f′（x）＞0，當(dāng)0＜x＜e時，f′（x）＜0，
∴當(dāng)x=e時，f（x）_min=f（e）=3e＞1，
∴山羊到直線y=1的最小距離是3e-1．
（2）∵g（x）=-x²+2ex+m-1，
∴g′（x）=-2x+2e，
∴當(dāng)x＞e時，g′（x）＜0，當(dāng)0＜x＜e時，g′（x）＞0，
∴當(dāng)x=e時，g（x）_max=g（e）=e²+m-1，
又f（e）=3e，
∴由3e＞e²+m-1得m＜-e²+3e+1．

點(diǎn)評：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、最值等知識，數(shù)形結(jié)合將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題解決，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化劃歸思想的應(yīng)用，屬于中檔題．