Question

7．△ABC外接圓的半徑為1，圓心為O，且2$\overrightarrow{OC}$+$\overrightarrow{CB}$+$\overrightarrow{CA}$=0，|$\overrightarrow{OC}$|=|$\overrightarrow{CB}$|，則$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AB}$等于（　�。�

• A． $\frac{3}{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 3
• D． 2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 利用向量的運算法則將已知等式化簡得到$\overrightarrow{OB}=-\overrightarrow{OA}$，得到AB為直徑，故△ABC為直角三角形，求出三邊長可得A 的值，利用兩個向量的數(shù)量積的定義求得答案．

解答 解：∵2$\overrightarrow{OC}$+$\overrightarrow{CB}$+$\overrightarrow{CA}$=$\overrightarrow{0}$，
∴$\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{0}$，
∴$\overrightarrow{OB}=-\overrightarrow{OA}$，則O，B，A共線，
∴AB為圓的直徑，則AC⊥BC，
又△ABC外接圓的半徑為1，圓心為O，且|$\overrightarrow{OC}$|=|$\overrightarrow{CB}$|，
∴∠A=30°，BC=1，AC=$\sqrt{3}$，
∴$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}$=|$\overrightarrow{AC}$||$\overrightarrow{AB}$|cos30°=$\sqrt{3}×2×\frac{\sqrt{3}}{2}=3$．
故選：C．

點評 本題主要考查向量在幾何中的應用、向量的數(shù)量積，向量垂直的充要條件等基本知識，求出△ABC為直角三角形及三邊長是解題的關鍵，是中檔題．