Question

19．函數(shù)f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+a+1（a∈R，a為常數(shù)），f（x）在[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{12}$]上的最大值與最小值之和為3．
（1）求f（x）的最小正周期及a的值
（2）求不等式f（x）≥2的解集．

Answer 1

分析 （1）由題意可得f（x）的最小正周期T，可求范圍2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，π]，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，求得最大值與最小值即可得解a的值．
（2）由（1）可得：sin（2x+$\frac{π}{6}$）≥$\frac{1}{2}$，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得2kπ+$\frac{π}{6}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{5π}{6}$，k∈Z，進而解得不等式f（x）≥2的解集．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）由題意可得：f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+a+1的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$，
因為，x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{12}$]，
所以，2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，π]，可得：sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
當(dāng)sin（2x+$\frac{π}{6}$）=-$\frac{1}{2}$，即x=-$\frac{π}{6}$時，f（x）取最小值為a．
當(dāng)sin（2x+$\frac{π}{6}$）=1，即x=$\frac{π}{6}$時，f（x）取最大值為a+3．
所以，a+3+a=3，解得a=0．
（2）由（1）可得，f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，
由f（x）≥2，化簡可得：sin（2x+$\frac{π}{6}$）≥$\frac{1}{2}$，即2kπ+$\frac{π}{6}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{5π}{6}$，k∈Z，
解得：kπ≤x≤kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z，
所以不等式f（x）≥2的解集為：{x|kπ≤x≤kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z}．

點評 本題主要考查了正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，不等式的解法及應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．