Question

11．已知數(shù)列a_n滿足a₁=2．a(chǎn)_n=2-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$（n≥2），令b_n=$\frac{1}{{a}_{n}-1}$．
（1）求證數(shù)列b_n是等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列a_n的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 （1）通過對(duì)等式a_n=2-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$兩邊同時(shí)減去1整理后兩邊同時(shí)取倒數(shù)可知$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=1+$\frac{1}{{a}_{n-1}-1}$，進(jìn)而可得結(jié)論；
（2）通過（1）可知b_n=$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=n，進(jìn)而可求出a_n=$\frac{n+1}{n}$．

解答 （1）證明：∵a_n=2-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$（n≥2），
∴a_n-1=1-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$=$\frac{{a}_{n-1}-1}{{a}_{n-1}}$（n≥2），
∴$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-1}-1}$=$\frac{{a}_{n-1}-1+1}{{a}_{n-1}-1}$=1+$\frac{1}{{a}_{n-1}-1}$，
即b_n=1+b_n-1（n≥2），
又∵b₁=$\frac{1}{{a}_{1}-1}$=$\frac{1}{2-1}$=1，
∴數(shù)列{b_n}是以首項(xiàng)、公差均為1的等差數(shù)列；
（2）解：由（1）可知b_n=$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=n，
∴a_n=1+$\frac{1}{n}$=$\frac{n+1}{n}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，注意解題方法的積累，屬于中檔題．