Question

2．設(shè)函數(shù)y=f（x）是定義在（0，+∞）上的減函數(shù)，并且滿(mǎn)足f（xy）=f（x）+f（y），f（3）=-1．
（1）求f（1）的值；
（2）如果f（x）+f（2-x）＜2，求x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)f（xy）=f（x）+f（y）對(duì)于任意的x，y都成立，利用賦值法：令x=y=1即可求解； 
（2）利用賦值法可得f（$\frac{1}{9}$）=2，然后結(jié)合f（xy）=f（x）+f（y），轉(zhuǎn)化已知不等式f（x）+f（2-x）=f[x（2-x）]＜2=f（$\frac{1}{9}$），最后根據(jù)單調(diào)性從而求出所求．

解答 解：（1）令x=y=1，則f（1）=f（1）+f（1），即f（1）=0；
（2）f（3×$\frac{1}{3}$）=f（3）+f（$\frac{1}{3}$）=f（1）=0，
∴f（$\frac{1}{3}$）=-f（3）=1，
則f（$\frac{1}{3}$）+f（$\frac{1}{3}$）=f（$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{3}$）=f（$\frac{1}{9}$），
即f（$\frac{1}{9}$）=1+1=2，則不等式f（x）+f（2-x）＜2，等價(jià)為f（x（2-x））＜f（$\frac{1}{9}$），
∵y=f（x）是定義在（0，+∞）上的減函數(shù)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{2-x＞0}\\{x（2-x）＞\frac{1}{9}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{x＜2}\\{9{x}^{2}-18x+1＜0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{x＜2}\\{1-\frac{2\sqrt{2}}{3}＜x＜1+\frac{2\sqrt{2}}{3}}\end{array}\right.$，
解之得：x∈（1-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，1+$\frac{2\sqrt{2}}{3}$），
∴x的取值范圍是（1-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，1+$\frac{2\sqrt{2}}{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了利用賦值法求解抽象函數(shù)的函數(shù)值，及利用函數(shù)的單調(diào)性求解不等式，屬于函數(shù)知識(shí)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．