Question

15．已知3^x=5^y，且$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$=3，則x+y=$\frac{1}{3}$（2+log₃5+log₅3）．

Answer 1

分析 根據(jù)指數(shù)冪和對(duì)數(shù)的關(guān)系進(jìn)行化簡(jiǎn)即可．

解答 解：設(shè)3^x=5^y=t，則t＞0，
則x=log₃t，y=log₅t，
∵$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$=3，
∴$\frac{1}{lo{g}_{3}t}+\frac{1}{lo{g}_{5}t}$=3，
即log_t3+log_t5=log_t15=3，
則t³=15，t=$\root{3}{15}$，
則x+y=log₃t+log₅t=log₃$\root{3}{15}$+log₅$\root{3}{15}$=$\frac{1}{3}$（log₃15+log₅15）=$\frac{1}{3}$（1+log₃5+1+log₅3）
=$\frac{1}{3}$（2+log₃5+log₅3），
故答案為：$\frac{1}{3}$（2+log₃5+log₅3）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查對(duì)數(shù)的化簡(jiǎn)，利用對(duì)數(shù)的換底公式進(jìn)行化簡(jiǎn)是解決本題的關(guān)鍵．