Question

1．在如圖所示的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
（Ⅰ）求證：平面A₁BC₁⊥平面A₁B₁CD；
（Ⅱ）求直線A₁B與平面A₁B₁CD所成角的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）要證平面A₁BC₁⊥平面A₁B₁CD，只要證明BC₁⊥面A₁B₁CD；應通過證明A₁B₁⊥BC₁．BC₁⊥B₁C兩個關系來實現(xiàn)，兩關系容易證明．
（Ⅱ）因為BC₁⊥平面A₁B₁CD，所以A₁O為斜線A₁B在平面A₁B₁CD內的射影，所以∠BA₁O為A₁B與平面A₁B₁CD所成的角．在RT△A₁BO中求解即可．

解答 （Ⅰ）證明：連接B₁C交BC₁于點O，連接A₁O．
在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中
∵A₁B₁⊥平面BCC₁B₁．
∴A₁B₁⊥BC₁．
又∵BC₁⊥B₁C，又BC₁∩B₁C=O
∴BC₁⊥平面A₁B₁CD，
∵BC₁?平面A₁BC₁，
∴平面A₁BC₁⊥平面A₁B₁CD；
（Ⅱ）解：因為BC₁⊥平面A₁B₁CD，所以A₁O為斜線A₁B在平面A₁B₁CD內的射影，所以∠BA₁O為A₁B與平面A₁B₁CD所成的角．設正方體的棱長為a
在RT△A₁BO中，A₁B=$\sqrt{2}$a，BO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，所以BO=$\frac{1}{2}$A₁B，∠BA₁O=30°，
即直線A₁B和平面A₁B₁CD所成的角為30°

點評 本題考查空間直線與平面垂直關系的判斷，線面角大小求解，考查空間想象能力、推理論證、計算、轉化能力．