Question

19．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一個焦點為（3，0），直線x-y-1=0與雙曲線右支相交于點P，則當雙曲線離心率最小時的雙曲線方程為$\frac{{x}^{2}}{5}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1．

Answer 1

分析 由題意，$\frac{a}$≥1，可得e=$\frac{c}{a}$≥$\sqrt{2}$，即可求出當雙曲線離心率最小時，a=$\frac{3}{\sqrt{2}}$，可得b，即可得出結論．

解答 解：由題意，c=3，即有a²+b²=9，
當雙曲線離心率最小時，直線y=x-1與雙曲線相切，
聯(lián)立直線方程和雙曲線的方程，可得（b²-a²）x²+2a²x-a²-a²b²=0，
可得△=4a⁴+4（b²-a²）（a²+a²b²）=0，化為a²-b²=1，
解得a²=5，b²=4，
∴雙曲線方程為$\frac{{x}^{2}}{5}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
故答案為：$\frac{{x}^{2}}{5}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1．

點評 本題考查雙曲線的性質(zhì)與方程，考查學生的計算能力，正確求出a，b是關鍵．