Question

14．假設(shè)關(guān)于某設(shè)備的使用年限x和所支出的維修費用y（萬元）有如下的統(tǒng)計資料：

使用年限x	2	3	4	5	6
維修費用y	2.2	3.8	5.5	6.5	7.0

若由資料知y對x呈線性相關(guān)關(guān)系．
（1）請畫出上表數(shù)據(jù)的散點圖；
（2）請根據(jù)最小二乘法求出線性回歸方程$\widehat{y}$=bx+a的回歸系數(shù)a，b；$b=\frac{\sum _{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum _{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}，a=\overline{y}-b\overline{x}$
（3）估計使用年限為10年時，維修費用是多少？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)畫出散點圖即可；
（2）求出x與y的平均數(shù)，表示出$\sum_{i=1}^{5}{x}_{i}{y}_{i}$，$\sum_{i=1}^{5}{{x}_{i}}^{2}$，求出ξ，根據(jù)$\widehat{y}$=$\overline{y}$-ξ$\overline{x}$，計算即可得到結(jié)果；
（3）把x=10代入（2）中結(jié)果計算即可得到結(jié)果．

解答 解：（1）做出圖象，如圖所示：
；
（2）由上表得：$\overline{x}$=$\frac{2+3+4+5+6}{5}$=4，$\overline{y}$=$\frac{2.2+3.8+5.5+6.5+7}{5}$=5，
$\sum_{i=1}^{5}{x}_{i}{y}_{i}$=2×2.2+3×3.8+4×5.5+5×6.5+6×7=112.3，
$\sum_{i=1}^{5}{{x}_{i}}^{2}$=2²+3²+4²+5²+6²=90，
∴ξ=$\frac{\sum_{i=1}^{5}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{xy}}{\sum_{i=1}^{5}{{x}_{i}}^{2}-n（\overline{x}）^{2}}$=$\frac{112.3-5×4×5}{90-5×{4}^{2}}$=1.23，
則$\widehat{y}$=$\overline{y}$-ξ$\overline{x}$=1.23x+0.08；
（3）由（2）得：$\widehat{y}$=1.23x+0.08，
把x=10代入得：ξ=1.23×10+0.08=12.38，
則使用年限為10年時，維修費用是大概為12.38萬元．

點評 此題考查了線性回歸方程，弄清線性回歸方程的意義是解本題的關(guān)鍵．