【題目】已知橢圓x2＋＝1(0<b<1)的左焦點為F，左、右頂點分別為A、C，上頂點為B，過F、B、C三點作圓P，其中圓心P的坐標為(m，n)．

(1)若FC是圓P的直徑，求橢圓的離心率；

(2)若圓P的圓心在直線x＋y＝0上，求橢圓的方程．

【答案】（1） （2）

【解析】【試題分析】（1）根據(jù)橢圓的性質得出點的坐標，利用直徑所對圓周角是直角，即.列方程解出的值，由此求得離心率.（2）求得直線和垂直平分線的方程，求得的值，代入直線方程可求得，由此解得的值并求出橢圓方程.

【試題解析】

　(1)由橢圓的方程知a＝1，

點B(0，b)，C(1,0)．設F的坐標為(－c,0)(c>0)，

∵FC是圓P的直徑，

∴FB⊥BC，

∵kBC＝－b，kBF＝，

∴－b·＝－1，

∴b2＝c＝1－c2，c2＋c－1＝0，

解得c＝，∴橢圓的離心率e＝＝.

(2)∵圓P過F、B、C三點，

∴圓心P既在FC的垂直平分線上，也在BC的垂直平分線上，

FC的垂直平分線方程為x＝，①

∵BC的中點為，kBC＝－b，

∴BC的垂直平分線方程為y－＝，②

由①②得x＝，y＝，

即m＝，n＝.

∵P(m，n)在直線x＋y＝0上，

∴＋＝0(1＋b)(b－c)＝0.

∵1＋b>0，

∴b＝c.

由b2＝1－c2得b2＝，

∴橢圓的方程為x2＋＝1.

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組數(shù)

分組

人數(shù)(單位：人)

第一組

[20,25)

2

第二組

[25,30)

a

第三組

[30,35)

5

第四組

[35,40)

4

第五組

[40,45)

3

第六組

[45,50]

2

　

(Ⅰ)求a的值并畫出頻率分布直方圖；

(Ⅱ)在統(tǒng)計表的第五與第六組的5人中，隨機選取2人，求這2人的年齡都小于45歲的概率．

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(2)判斷命題“且”的真假，并說明理由.

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