Question

13．若直線ax-by=2（a＞0，b＞0）過圓x²+y²-4x+2y+1=0的圓心，則ab的最大值為$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓心，根據(jù)直線和圓心的關(guān)系，求出a，b的關(guān)系，利用基本不等式進(jìn)行求解即可．

解答 解：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-2）²+（y+1）²=4，
圓心坐標(biāo)為（2，-1），
代入直線方程得2=2a+b≥2$\sqrt{2ab}$，
則ab≤$\frac{1}{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)2a=b，即a=$\frac{1}{2}$，b=1時，取等號，
即ab的最大值為$\frac{1}{2}$，
故答案為：$\frac{1}{2}$

點評 本題主要考查最值的求解，根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系，結(jié)合基本不等式是解決本題的關(guān)鍵．