Question

10．如圖所示，三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA=AC=$\sqrt{2}$，則三棱錐P-ABC外接球的體積是（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{2}π}}{3}$
• B． $\frac{8π}{3}$
• C． $\frac{4π}{3}$
• D． 2π

Answer 1

分析 構(gòu)造補(bǔ)充圖形為長(zhǎng)方體，幾何體三棱錐P-ABC的外接球，與棱長(zhǎng)為1，1，$\sqrt{2}$．長(zhǎng)方體的外接球應(yīng)該是同一個(gè)外接球，再用長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)求解外接球的半徑，即可求解體積．

解答 解：∵在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA=AC=$\sqrt{2}$，
∴畫(huà)出幾何圖形，可以構(gòu)造補(bǔ)充圖形為長(zhǎng)方體，棱長(zhǎng)為1，1，$\sqrt{2}$．
∵對(duì)角線長(zhǎng)為 （$\sqrt{2}$）²+（$\sqrt{2}$）²=2．
∴三棱錐P-ABC的外接球的半徑為1，
體積為 $\frac{4}{3}$×π×1³=$\frac{4}{3}$π．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間幾何體的性質(zhì)，構(gòu)建容易操作的幾何體，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化求解，關(guān)鍵是有一定的空間想象能力，屬于中檔題．