Question

7．如圖，拋物線y²=2px（p＞0）和圓x²+y²-px=0，直線l經過拋物線的焦點，依次交拋物線與圓于A，B，C，D四點，|AB|•|CD|=2則p的值為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• B． 1
• C． $\sqrt{2}$
• D． 2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 求得拋物線的焦點和準線方程，圓的圓心和半徑，設A（x₁，y₁），D（x₂，y₂），討論若直線的斜率不存在，則直線方程為x=$\frac{p}{2}$，求出A，B，C，D的坐標，求得AB，CD的長，解方程可得p；若直線的斜率存在，設為k，則直線方程為y=k（x-$\frac{p}{2}$），代入拋物線的方程，運用韋達定理，結合拋物線的定義和圓的定義，可得p的方程，即可得到所求值．

解答 解：拋物線y²=2px焦點F（$\frac{p}{2}$，0），準線方程為x=-$\frac{p}{2}$，
圓（x-$\frac{p}{2}$）²+y²=$\frac{1}{4}$p²的圓心是（$\frac{p}{2}$，0）半徑r=$\frac{p}{2}$，
設A（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
過拋物線y²=4px的焦點F的直線依次交拋物線及圓（x-$\frac{p}{2}$）²+y²=$\frac{1}{4}$p²于點A，B，C，D，
A，D在拋物線上，B，C在圓上
①．若直線的斜率不存在，則直線方程為x=$\frac{p}{2}$，
代入拋物線方程和圓的方程，
可直接得到ABCD四個點的坐標為（$\frac{p}{2}$，p），（$\frac{p}{2}$，$\frac{p}{2}$），（$\frac{p}{2}$，-$\frac{p}{2}$）（$\frac{p}{2}$，-p），
所以|AB|•|CD|=$\frac{1}{2}$p•$\frac{1}{2}$p=2，
解得p=2$\sqrt{2}$；
②．若直線的斜率存在，設為k，則直線方程為y=k（x-$\frac{p}{2}$），
因為直線過拋物線的焦點（$\frac{p}{2}$，0），
不妨設A（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
由拋物線的定義，|AF|=x₁+$\frac{p}{2}$，|DF|=x₂+$\frac{p}{2}$，
把直線方程與拋物線方程聯(lián)立，消去y可得
k²x²-（pk²+2p）x+$\frac{1}{4}$p²k²=0，
由韋達定理有x₁x₂=$\frac{1}{4}$p²，
而拋物線的焦點F同時是已知圓的圓心，
所以|BF|=|CF|=r=$\frac{1}{2}$p，
從而有|AB|=|AF|-|BF|=x₁，
|CD|=|DF|-|CF|=x₂，
由|AB|•|CD|=2，即有x₁x₂=2，
由$\frac{1}{4}$p²=2，解得p=2$\sqrt{2}$．
故選：D．

點評 本題主要考查拋物線標準方程，簡單幾何性質，直線與拋物線的位置關系，圓的簡單性質等基礎知識．考查運算求解能力，屬于中檔題．