Question

11．設(shè)F₁、F₂為橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）與雙曲線C₂的公共的左右焦點，它們在第一象限內(nèi)交于點M，△MF₁F₂是以線段MF₁為底邊的等腰三角形．若雙曲線C₂的離心率e∈[${\frac{3}{2}$，4]，則橢圓C₁的離心率取值范圍是（　�。�

• A． [${\frac{4}{9}$，$\frac{5}{9}}$]
• B． [0，$\frac{3}{8}}$]
• C． [${\frac{3}{8}$，$\frac{4}{9}}$]
• D． [${\frac{5}{9}$，1）

Answer 1

分析 由題意及橢圓的性質(zhì)，可求得MF₁=2a-2c，根據(jù)雙曲線的性質(zhì)求得A點的橫坐標(biāo)，求得$\frac{c}{a}$的取值范圍，利用雙曲線的離心率取值范圍$\frac{3}{2}$≤$\frac{\frac{c}{a}}{1-\frac{2c}{a}}$≤4，橢圓離心率e₁=$\frac{c}{a}$，
代入求得橢圓離心率e₁的取值范圍．

解答 解：∵△MF₁F₂為等腰三角形，
∴MF₂=F₁F₂=2c，
根據(jù)橢圓定義應(yīng)該有，MF₂+MF₁=2a=2c+MF₁，可推出MF₁=2a-2c，
∵雙曲線也以F₁和F₂為焦點，根據(jù)其定義也有：MF₁-MF₂=（2a-2c）-2c=2a-4c，
∴A點橫坐標(biāo)為a-2c，由a-2c＞0，得：0＜$\frac{c}{a}$＜$\frac{1}{2}$；
雙曲線離心率e范圍：$\frac{3}{2}$≤e=$\frac{丨O{F}_{2}丨}{丨OA丨}$=$\frac{c}{a-2c}$=$\frac{\frac{c}{a}}{1-\frac{2c}{a}}$≤4，①
因此求得橢圓離心率e₁=$\frac{c}{a}$，
當(dāng)0＜e₁＜$\frac{1}{2}$時，解得①：$\frac{3}{8}$≤e₁=$\frac{c}{a}$≤$\frac{4}{9}$；
故答案選：C．

點評 本題考查橢圓的離心率的取值范圍的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意雙曲線、橢圓性質(zhì)的靈活運用，是中檔題．