Question

6．若一元二次不等式mx²+（2-m）x-2＞0恰有3個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是-$\frac{1}{2}$＜m≤-$\frac{2}{5}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意得出m＜0，再把不等式mx²+（2-m）x-2＞0化為（x-1）（x+$\frac{2}{m}$）＜0，求出對(duì)應(yīng)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，由不等式的解集中恰有3個(gè)整數(shù)解，得出4＜-$\frac{2}{m}$≤5，由此求出m的取值范圍．

解答 解：根據(jù)題意得m＜0，
又一元二次不等式mx²+（2-m）x-2＞0可化為（x-1）（mx+2）＞0，
即（x-1）（x+$\frac{2}{m}$）＜0；
且對(duì)應(yīng)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為1和-$\frac{2}{m}$，
又不等式的解集中恰有3個(gè)整數(shù)解，
所以這三個(gè)整數(shù)分別為2、3、4；
則4＜-$\frac{2}{m}$≤5，
即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}{m}+4＜0}\\{\frac{2}{m}+5≥0}\end{array}\right.$，
解得-$\frac{1}{2}$＜m≤-$\frac{2}{5}$；
綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍是-$\frac{1}{2}$＜m≤-$\frac{2}{5}$．
故答案為：-$\frac{1}{2}$＜m≤-$\frac{2}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一元二次不等式與對(duì)應(yīng)方程的關(guān)系以及根與系數(shù)的關(guān)系應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目．