Question

9．設(shè)a₀，a₁，a₂，…，a_n成等差數(shù)列，求證：a₀+a₁C${\;}_{n}^{1}$+a₂C${\;}_{n}^{2}$+…+a_nC${\;}_{n}^{n}$=（a₀+a_n）2^n-1．

Answer 1

分析 利用等差數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合組合數(shù)的性質(zhì)，即可證明結(jié)論．

解答 證明：∵a₀，a₁，a₂，…，a_n成等差數(shù)列，
∴a₀+a_n=a₁+a_n-1=…=a_n+a₀，
∴a₀+a₁C${\;}_{n}^{1}$+a₂C${\;}_{n}^{2}$+…+a_nC${\;}_{n}^{n}$+a₀${C}_{n}^{n}$+a₁${C}_{n}^{n-1}$+…+a_n${C}_{n}^{0}$=（a₀+a_n）（${C}_{n}^{0}$+C${\;}_{n}^{1}$+C${\;}_{n}^{2}$+…+C${\;}_{n}^{n}$）=（a₀+a_n）2ⁿ，
∴a₀+a₁C${\;}_{n}^{1}$+a₂C${\;}_{n}^{2}$+…+a_nC${\;}_{n}^{n}$=（a₀+a_n）2^n-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)、組合數(shù)的性質(zhì)，比較基礎(chǔ)．