Question

已知圓C：x²+y²-2x-4=0一條斜率等于1的直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，
（1）求弦AB最長(zhǎng)時(shí)直線l的方程；
（2）求△ABC面積最大時(shí)直線l的方程；
（3）若坐標(biāo)原點(diǎn)O在以AB為直徑的圓內(nèi)，求直線l在y軸上的截距范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：綜合題,直線與圓

分析：（1）欲求弦AB最長(zhǎng)時(shí)直線L的方程，依據(jù)圓的特征：圓的直徑是最長(zhǎng)的弦，只須求出l過(guò)圓心時(shí)的方程即可；
（2）欲求△ABC面積最大時(shí)直線L的方程，因其兩腰定長(zhǎng)，故只須頂角為直角時(shí)面積最大，最后利用點(diǎn)到直線的距離公式求解即可；
（3）由斜率為1設(shè)出直線l方程y=x+b，表示過(guò)C且與直線l垂直的直線方程，兩方程聯(lián)立，求出方程組的解，即為以AB為直徑的圓心坐標(biāo)D，再利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出圓心C到直線l的距離d，利用垂徑定理及勾股定理表示出DA²，即為以AB為直徑圓的半徑平方，表示出圓D的方程，原點(diǎn)O在圓內(nèi)，得到圓心D到原點(diǎn)距離小于圓的半徑，列出關(guān)于b的不等式，求出不等式的解集得到b的范圍，即為直線l在y軸上截距的范圍．

解答： 解：（1）∵L過(guò)圓心時(shí)弦長(zhǎng)AB最大，圓心坐標(biāo)為（1，-2），∴L的方程為x-y-3=0；
（2）△ABC的面積S=

1

2

CA•CBsin∠ACB=

9

2

sin∠ACB，
當(dāng)∠ACB=

π

2

時(shí)，△ABC的面積S最大，
此時(shí)△ABC為等腰三角形；
設(shè)L方程為y=x+m，則圓心到直線距離為

3 2

2

，
從而有

|1+2+m|

2

=

3 2

2

，
m=0或m=-6，
則L方程為x-y=0或x-y-6=0．
（3）可設(shè)直線l：y=x+b，
過(guò)點(diǎn)C（1，0）與l垂直的直線的方程為y=-（x-1），即x+y-1=0，
由

y=x+b x+y-1=0

，解得：

x= 1-b 2 y= 1+b 2

，即以AB為直徑的圓的圓心坐標(biāo)為D（

1-b

2

，

1+b

2

），
圓心C到直線l的距離d=

|1+b|

2

，
而DA²=CA²-d²=5-

(1+b)2

2

，
以AB為直徑的圓D：（x-

1-b

2

）²+（y-

1+b

2

）²=5-

(1+b)2

2

，
點(diǎn)O在以AB為直徑的圓D內(nèi)，即（

1-b

2

）²+（

1+b

2

）²＜5-

(1+b)2

2

，
解得：

-1- 17

2

＜b＜

-1+ 17

2

，
則所求直線l在y軸上的截距范圍為（

-1- 17

2

，

-1+ 17

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查直線的一般式方程、直線和圓的方程的應(yīng)用、點(diǎn)到直線的距離公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．