Question

9．已知數(shù)列{a_n}中的相鄰兩項(xiàng)a_2k-1，a_2k是關(guān)于x的方程x²+（2^k+3k）x+3k•2^k=0的兩個(gè)根，且a_2k-1≤a_2k（k=1，2，3，…）設(shè)f（n）=$\frac{1}{2}$（$\frac{|sinn|}{sinn}$+3），T_n=（$\frac{（-1）^{f（2）}}{a{{\;}_{1}a}_{2}}$+$\frac{（-1）^{f（3）}}{{a}_{3}{a}_{4}}$+…-$\frac{（-1）^{f（n+1）}}{{a}_{2n-1}{a}_{2n}}$，求證：$\frac{1}{6}$≤T_n≤$\frac{5}{24}$（n∈N₊）

Answer 1

分析 兩項(xiàng)a_2k-1，a_2k是關(guān)于x的方程x²+（2^k+3k）x+3k•2^k=0的兩個(gè)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得：a_2k-1，a_2k．由于f（n）=$\frac{1}{2}$（$\frac{|sinn|}{sinn}$+3），當(dāng)|sinn|=-sinn時(shí)，f（n）=1；當(dāng)|sinn|=sinn時(shí)，f（n）=2．當(dāng)n≥3時(shí)，T_n=$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{{a}_{3}{a}_{4}}$-$\frac{1}{{a}_{5}{a}_{6}}$+…+$\frac{（-1）^{f（n+1）}}{{a}_{2n-1}{a}_{2n}}$≥$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{24}$-$（\frac{1}{{a}_{5}{a}_{6}}+…+\frac{1}{{a}_{2n-1}{a}_{2n}}）$；T_n=$\frac{5}{24}$-$\frac{1}{{a}_{5}{a}_{6}}$-$\frac{1}{{a}_{7}{a}_{8}}$+…+$\frac{（-1）^{f（n+1）}}{{a}_{2n-1}{a}_{2n}}$≤$\frac{5}{24}$-$\frac{1}{{a}_{5}{a}_{6}}$+$（\frac{1}{{a}_{7}{a}_{8}}+\frac{1}{{a}_{9}{a}_{10}}+…+\frac{1}{{a}_{2n-1}{a}_{2n}}）$．

解答 證明：∵兩項(xiàng)a_2k-1，a_2k是關(guān)于x的方程x²+（2^k+3k）x+3k•2^k=0的兩個(gè)根，且a_2k-1≤a_2k，
∴a₁=-3，a₂=-2，a₃=-6，a₄=-4，當(dāng)k≥3時(shí)，a_2k-1=-2^k，a_2k=-3k．
∵f（n）=$\frac{1}{2}$（$\frac{|sinn|}{sinn}$+3），
∴當(dāng)|sinn|=-sinn時(shí)，f（n）=1；當(dāng)|sinn|=sinn時(shí)，f（n）=2．
∴當(dāng)n≥3時(shí)，T_n=$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{{a}_{3}{a}_{4}}$-$\frac{1}{{a}_{5}{a}_{6}}$+…+$\frac{（-1）^{f（n+1）}}{{a}_{2n-1}{a}_{2n}}$≥$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{24}$-$（\frac{1}{{a}_{5}{a}_{6}}+…+\frac{1}{{a}_{2n-1}{a}_{2n}}）$≥$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{24}$-$\frac{1}{6}$$（\frac{1}{{2}^{3}}+\frac{1}{{2}^{4}}+…+\frac{1}{{2}^{n}}）$=$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{6•{2}^{n}}$＞$\frac{1}{6}$；
同時(shí)，T_n=$\frac{5}{24}$-$\frac{1}{{a}_{5}{a}_{6}}$-$\frac{1}{{a}_{7}{a}_{8}}$+…+$\frac{（-1）^{f（n+1）}}{{a}_{2n-1}{a}_{2n}}$≤$\frac{5}{24}$-$\frac{1}{{a}_{5}{a}_{6}}$+$（\frac{1}{{a}_{7}{a}_{8}}+\frac{1}{{a}_{9}{a}_{10}}+…+\frac{1}{{a}_{2n-1}{a}_{2n}}）$
≤$\frac{5}{24}-\frac{1}{9×{2}^{3}}$+$\frac{1}{9}（\frac{1}{{2}^{4}}+\frac{1}{{2}^{5}}+…+\frac{1}{{2}^{n}}）$=$\frac{5}{24}-\frac{1}{9•{2}^{n}}$$＜\frac{5}{24}$．
∴$\frac{1}{6}$≤T_n≤$\frac{5}{24}$（n∈N₊）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、遞推式的應(yīng)用、數(shù)列的性質(zhì)、“放縮法”，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．