Question

19．已知函數(shù)f（x）=|e^x-1|+1，若f（a）=f（b），且a＜b，則實數(shù)a+2b的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，0）
• B． （-∞，ln$\frac{4}{3}$）
• C． （-∞，ln3]
• D． （-∞，ln$\frac{32}{37}$]

Answer 1

分析 先畫出函數(shù)f（x）的圖象，由f（a）=f（b）得：2-e^a=e^b，根據(jù)e^a+2b=e^a•e^2b=（2-e^b）•e^2b，設(shè)e^b=t，則e^a+2b=（2-t）t²，（1＜t＜e），構(gòu)造新函數(shù)，通過求導得到函數(shù)的單調(diào)性，從而求出a+2b的范圍．

解答 解：x≥0時，e^x-1≥0，
∴f（x）=e^x-1+1=e^x，
當e^x≤0時，e^x-1≤0，
∴f（x）=1-e^x+1=2-e^x，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{x}，x≥0}\\{2{-e}^{x}，x＜0}\end{array}\right.$，
畫出函數(shù)f（x）的圖象，如圖示：
，
若a＜b，則a＜0，0＜b＜ln2，
由f（a）=f（b）得：2-e^a=e^b，
e^a+2b=e^a•e^2b=（2-e^b）•e^2b，
設(shè)e^b=t，
∵0＜b＜ln2，∴1＜t＜e，
則e^a+2b=（2-t）t²，（1＜t＜e），
令f（t）=（2-t）t²=-t³+2t²，
∴f′（t）=-3t²+4t=t（-3t+4），
令f′（t）＞0，解得：1＜t＜$\frac{4}{3}$，
令f′（t）＜0，解得：$\frac{4}{3}$＜t＜e，
∴f（t）_max=f（$\frac{4}{3}$）=$\frac{32}{27}$，
∴e^a+2b＜$\frac{32}{27}$，
∴a+2b＜ln$\frac{32}{27}$，
a→-∞時，a+2b→-∞，
故選：D．

點評 本題考查了分段函數(shù)問題，考查轉(zhuǎn)化思想，導數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)e^a+2b=e^a•e^2b=（2-e^b）•e^2b，設(shè)e^b=t，則e^a+2b=（2-t）t²，構(gòu)造新函數(shù)是解題的關(guān)鍵．