Question

某企業(yè)擬在2014年度進(jìn)行一系列促銷(xiāo)活動(dòng)，已知其產(chǎn)品年銷(xiāo)量x萬(wàn)件與年促銷(xiāo)費(fèi)用t萬(wàn)元之間滿足3-x與t+1成反比例，當(dāng)年促銷(xiāo)費(fèi)用t=0萬(wàn)元時(shí)，年銷(xiāo)量是1萬(wàn)件．已知2014年產(chǎn)品的設(shè)備折舊、維修等固定費(fèi)用為3萬(wàn)元，每生產(chǎn)1萬(wàn)件產(chǎn)品需再投入32萬(wàn)元的生產(chǎn)費(fèi)用，若將每件產(chǎn)品售價(jià)定為：其生產(chǎn)成本的150%與“平均每件促銷(xiāo)費(fèi)的一半”之和，則當(dāng)年生產(chǎn)的商品正好能銷(xiāo)完．
（Ⅰ）將2014年的利潤(rùn)y（萬(wàn)元）表示為促銷(xiāo)費(fèi)t（萬(wàn)元）的函數(shù)；
（Ⅱ）該企業(yè)2014年的促銷(xiāo)費(fèi)投入多少萬(wàn)元時(shí)，企業(yè)年利潤(rùn)最大？
（注：利潤(rùn)=銷(xiāo)售收入-生產(chǎn)成本-促銷(xiāo)費(fèi)，生產(chǎn)成本=固定費(fèi)用+生產(chǎn)費(fèi)用）

Answer 1

考點(diǎn)：根據(jù)實(shí)際問(wèn)題選擇函數(shù)類(lèi)型

專(zhuān)題：應(yīng)用題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）根據(jù)3-x與t+1成反比例，當(dāng)年促銷(xiāo)費(fèi)用t=0萬(wàn)元時(shí)，年銷(xiāo)量是1萬(wàn)件，可求出k的值；進(jìn)而通過(guò)x表示出年利潤(rùn)y，并化簡(jiǎn)整理，代入整理即可求出y萬(wàn)元表示為促銷(xiāo)費(fèi)t萬(wàn)元的函數(shù)；
（Ⅱ）利用基本不等式求出最值，即可得結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）由題意：3-x=

k

t+1

，將t=0，x=1代入得k=2，
∴x=3-

2

t+1

，
當(dāng)年生產(chǎn)x（萬(wàn)件）時(shí)，年生產(chǎn)成本=32x+3=32（3-

2

t+1

）+3，
當(dāng)銷(xiāo)售x（萬(wàn)件）時(shí)，年銷(xiāo)售收入=150%[32（3-

2

t+1

）+3]+

1

2

t
由題意，生產(chǎn)x萬(wàn)件產(chǎn)品正好銷(xiāo)完，∴年利潤(rùn)=年銷(xiāo)售收入-年生產(chǎn)成本-促銷(xiāo)費(fèi)
即y=

-t2+98t+35

2(t+1)

（t≥0）；
（Ⅱ）y=50-（

t+1

2

+

32

t+1

）≤42，此時(shí)t=7，y_max=42．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，考查基本不等式在求最值中的應(yīng)用，考查學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．