Question

18．△ABC的外接圓的圓心為O，半徑為1，2$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{0}$，且|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{AB}$|，則向量$\overrightarrow{CA}$在$\overrightarrow{CB}$方向上的投影為$\frac{3}{2}$．．

Answer 1

分析 根據(jù)圓的性質(zhì)和向量的平行四邊形法則可求出|$\overrightarrow{CA}$|和向量$\overrightarrow{CA}$，$\overrightarrow{CB}$的夾角．

解答 解：作直徑AD，連結(jié)BD，CD．則2$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{DA}$．
∵2$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{0}$，
∴四邊形ABDC是平行四邊形，
∵AD是直徑，∴∠ACD=90°．
∴四邊形ABDC是矩形，
∵|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{AB}$|=1，∴△ABO是等邊三角形，
∴∠ACB=$\frac{1}{2}$∠AOB=30°，AC=$\sqrt{B{C}^{2}-A{B}^{2}}=\sqrt{3}$．
∴向量$\overrightarrow{CA}$在$\overrightarrow{CB}$方向上的投影為AC×cos30°=$\frac{3}{2}$．
故答案為$\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，利用圓的性質(zhì)得出AC的長(zhǎng)與向量的夾角是關(guān)鍵．