Question

10．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的左焦點(diǎn)F為圓x²+y²+2x=0的圓心，且橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)F的距離的最小值為$\sqrt{2}-1$．
（1）求橢圓的方程；
（2）已知經(jīng)過點(diǎn)F的動(dòng)直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A，B，點(diǎn)$M（{-\frac{5}{4}，0}）$，求$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$的值．

Answer 1

分析 （1）先求出圓心坐標(biāo)，再根據(jù)題意求出a、b，得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）根據(jù)直線的斜率是否存在，分情況設(shè)直線方程，再與橢圓方程聯(lián)立方程組，設(shè)出交點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合韋達(dá)定理根與系數(shù)的關(guān)系，利用向量坐標(biāo)運(yùn)算驗(yàn)證．

解答 解：（1）∵圓x²+y²+2x=0的圓心為（-1，0），
依據(jù)題意c=1，a-c=$\sqrt{2}$-1，
∴a=$\sqrt{2}$，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=1，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（2）①當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，l的方程是：x=-1，
 得A（-1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），B（-1，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=（$\frac{1}{4}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）•（$\frac{1}{4}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=$\frac{1}{16}$-$\frac{1}{2}$=-$\frac{7}{16}$；
②當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線l的方程為 y=k（x+1），
代入橢圓方程，可得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁x₂=$\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，x₁+x₂=-$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，
$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=（x₁+$\frac{5}{4}$，y₁）•（x₂+$\frac{5}{4}$，y₂）
=x₁x₂+$\frac{5}{4}$（x₁+x₂）+$\frac{25}{16}$+k²（x₁x₂+x₁+x₂+1）
=（1+k²）x₁x₂+（k²+$\frac{5}{4}$）（x₁+x₂）+k²+$\frac{25}{16}$
=（1+k²）（$\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$）+（k²+$\frac{5}{4}$）（-$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$）+k²+$\frac{25}{16}$
=$\frac{-4{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$+$\frac{25}{16}$=-2+$\frac{25}{16}$=-$\frac{7}{16}$
綜上$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=-$\frac{7}{16}$．

點(diǎn)評 本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題及向量坐標(biāo)運(yùn)算．根據(jù)韋達(dá)定理，巧妙利用根與系數(shù)的關(guān)系設(shè)而不求，是解決本類問題的關(guān)鍵．