Question

11．點P是曲線ρ=2（0≤θ≤π）上的動點，A（2，0），AP的中點為Q．
（1）求點Q的軌跡C的直角坐標方程；
（2）若C上點 M處的切線斜率的取值范圍是[-$\sqrt{3}$，-$\frac{{\sqrt{3}}}{3}}$]，求點 M橫坐標的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由ρ=2（0≤θ≤π），得$x_{\;}^2+y_{\;}^2=4\;（{y≥0}）$．設P（x₁，y₁），Q（x，y），利用中點坐標公式可得：x₁=2x-2，y₁=2y，代入$x_1^2+y_1^2=4\;（{y≥0}）$，即可得出．
（2）軌跡C是一個以（1，0）為圓心，1為半徑的半圓，如圖所示，設M（1+cosφ，sinφ），設點M處切線l的傾斜角為α由l斜率范圍$[{-\sqrt{3}，-\frac{{\sqrt{3}}}{3}}]$，可得$\frac{2π}{3}≤α≤\frac{5π}{6}$，由$φ=α-\frac{π}{2}$，$\frac{π}{6}≤φ≤\frac{π}{3}$，即可得出．

解答 解：（1）由ρ=2（0≤θ≤π），得$x_{\;}^2+y_{\;}^2=4\;（{y≥0}）$．
設P（x₁，y₁），Q（x，y），
則$x=\frac{{{x_1}+2}}{2}，y=\frac{y_1}{2}$，即x₁=2x-2，y₁=2y，代入$x_1^2+y_1^2=4\;（{y≥0}）$，
得（2x-2）²+（2y）²=4，∴（x-1）²+y²=1（y≥0）．
（Ⅱ）軌跡C是一個以（1，0）為圓心，1為半徑的半圓，如圖所示，
設M（1+cosφ，sinφ），設點M處切線l的傾斜角為α由l斜率范圍$[{-\sqrt{3}，-\frac{{\sqrt{3}}}{3}}]$，可得$\frac{2π}{3}≤α≤\frac{5π}{6}$，
而$φ=α-\frac{π}{2}$，∴$\frac{π}{6}≤φ≤\frac{π}{3}$，∴$\frac{3}{2}≤1+cosφ≤\frac{{2+\sqrt{3}}}{2}$，
∴點M橫坐標的取值范圍是$[{\frac{3}{2}，\frac{{2+\sqrt{3}}}{2}}]$．

點評 本題考查了極坐標化為直角坐標方程、中點坐標公式、直線與圓的方程、三角函數(shù)求值，考查了數(shù)形結合方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．