Question

1．如圖，有一塊半徑為R的半圓形鋼板，計劃將其剪裁成等腰梯形ABCD的形狀，它的下底AB是⊙O的直徑，上底CD的端點在圓周上．
（1）試將該梯形的周長y表示成腰長x的函數(shù)；
（2）腰長為多少時，該梯形的周長最大？

Answer 1

分析 （1）通過建系、作輔助線，設腰長AD=BC=x，利用相似比可將上底用比較R和x表示出來，進而計算即得結論；
（2）通過（1）配方可知y=-$\frac{1}{R}$（x-R）²+5R，進而可得結論．

解答 解：（1）建系如圖，過C作CE⊥AB于點E，連結AC，則AC⊥BC．
設腰長AD=BC=x，則由相似三角形可知，$\frac{BE}{BC}$=$\frac{BC}{AB}$，
∴BE=$\frac{{x}^{2}}{2R}$，CD=AB-2BE=2R-$\frac{{x}^{2}}{R}$，
∴y=AB+CD+AD+BC
=2R+（2R-$\frac{{x}^{2}}{R}$）+x+x
=-$\frac{{x}^{2}}{R}$+2x+4R，
又∵x＞0，$\frac{{x}^{2}}{2R}$＞0，2R-$\frac{{x}^{2}}{R}$＞0，
∴0＜x＜$\sqrt{2}$R，
∴y=-$\frac{{x}^{2}}{R}$+2x+4R（0＜x＜$\sqrt{2}$R）；
（2）由（1）可知，y=-$\frac{{x}^{2}}{R}$+2x+4R=-$\frac{1}{R}$（x-R）²+5R，
又∵0＜x＜$\sqrt{2}$R，
∴當x=R時，該梯形的周長最大為5R．

點評 本題考查函數(shù)的最值及其幾何意義，涉及圓心所對的圓周角、相似三角形等基礎知識，考查數(shù)形結合能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．