Question

11．?dāng)?shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=2a_n-1，設(shè)b_n=2（log₂a_n+1），n∈N^*．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{b_n•a_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)n=1時(shí)，易得a₁=1；當(dāng)n≥2時(shí)，解得a_n=2a_n-1即a_n=2a_n-1（n≥2），且a₁=1，從而{a_n}是以1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列；
（2）根據(jù)對(duì)數(shù)的性質(zhì)，得到b_n=2n，即b_n•a_n=n•2ⁿ，利用錯(cuò)位相減法即可取出前n項(xiàng)和．

解答 解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=2a₁-1，a₁=1，
當(dāng)n≥2時(shí)，S_n=2a_n-1，S_n-1=2a_n-1-1；
∴a_n=2a_n-2a_n-1，
∴a_n=2a_n-1，
∴數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
∴a_n=2^n-1，
（2）b_n=2（log₂a_n+1）=2（log₂2^n-1+1）=2n，
∴b_n•a_n=2n•2^n-1=n•2ⁿ，
∴T_n=1×2¹+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ，
∴2T_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
∴-T_n=2¹+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$-n•2ⁿ⁺¹=2ⁿ⁺¹-2-n•2ⁿ⁺¹，
∴T_n=-2ⁿ⁺¹+1+n•2ⁿ⁺¹=（n-1）2ⁿ⁺¹+2

點(diǎn)評(píng) 本題主要考察了等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．