Question

已知不等式

x+2

x+1

＜0的解集為{x|a＜x＜b}，點A（a，b）在直線mx+ny+1=0上，其中mn＞0，則

2

m

+

1

n

的最小值為（　　）

• A、4

  2

• B、8
• C、9
• D、12

Answer 1

考點：基本不等式

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：由不等式

x+2

x+1

＜0，解得-2＜x＜-1．可得a=-2，b=-1．由于點A（-2，-1）在直線mx+ny+1=0上，可得2m+n=1．再利用“乘1法”和基本不等式即可得出．

解答： 解：不等式

x+2

x+1

＜0?（x+2）（x+1）＜0，解得-2＜x＜-1．
∴不等式

x+2

x+1

＜0的解集為{x|-2＜x＜-1}，
∴a=-2，b=-1．
∵點A（-2，-1）在直線mx+ny+1=0上，
∴-2m-n+1=0，化為2m+n=1．
∵mn＞0，
∴

2

m

+

1

n

=(2m+n)(

2

m

+

1

n

)=5+

2n

m

+

2m

n

≥5+2×2×

n m × m n

=9，當(dāng)且僅當(dāng)m=n=

1

3

時取等號．
∴

2

m

+

1

n

的最小值為9．
故選：C．

點評：本題考查了分式不等式的解法、基本不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．