Question

已知實(shí)數(shù)x、y滿足

2x-y≤0 x-3y+5≥0 x＞0 y＞0

，求z=（

1

4

）^x•（

1

2

）^y的最小值．

Answer 1

分析：根據(jù)指數(shù)函數(shù)y=（

1

2

）^x是減函數(shù)，結(jié)合題意化簡(jiǎn)得到求z的最小值即求k=2x+y的最大值．因此作出題中不等式組表示的平面區(qū)域，得如圖的△AB0及其內(nèi)部，再將目標(biāo)函數(shù)k=2x+y對(duì)應(yīng)的直線進(jìn)行平移，可得當(dāng)x=1且y=2時(shí)，k取得最大值，由此即可得到z=（

1

4

）^x•（

1

2

）^y的最小值．

解答：解：∵z=（

1

4

）^x•（

1

2

）^y=（

1

2

）^2x+y，
∴求z=（

1

4

）^x•（

1

2

）^y的最小值，即求k=2x+y的最大值
作出不等式組

2x-y≤0 x-3y+5≥0 x＞0 y＞0

表示的平面區(qū)域，
得到如圖的△AB0及其內(nèi)部，其中
A（1，2），B（0，

5

3

），O是坐標(biāo)原點(diǎn)
設(shè)k=F（x，y）=2x+y，將直線l：k=2x+y進(jìn)行平移，
觀察y軸上的截距變化，可得
當(dāng)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，k達(dá)到最大值
∴k_最大值=F（1，2）=4
因此，可得z=（

1

4

）^x•（

1

2

）^y的最小值為（

1

2

）⁴=

1

16

故答案為：

1

16

點(diǎn)評(píng)：本題給出二元一次不等式組，求目標(biāo)函數(shù)z的最小值，著重考查了指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、二元一次不等式組表示的平面區(qū)域和簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．