Question

13．設函數(shù)f（x）=lnx+x²-2ax+a²，a∈R．
（1）當a=0時，曲線y=f（x）與直線y=3x+m相切，求實數(shù)m的值；
（2）若函數(shù)f（x）在[1，3]上存在單調遞增區(qū)間，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）將a=0代入f（x），求出f（x）的導數(shù)，得到f′（x）=3，解得x的值，求出切點坐標，代入求出m的值即可；
（2）假設函數(shù)f（x）在[1，3]上不存在單調遞增區(qū)間，必有g（x）≤0，得到關于a的不等式組，解出即可．

解答 解：（1）當a=0時，f（x）=lnx+x²，x∈（0，+∞），
f′（x）=$\frac{1}{x}$+2x＞0，
令f′（x）=3，解得：x=1或x=$\frac{1}{2}$，
代入f（x）得切點坐標為（1，1），或（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$-ln2），
將切點坐標代入直線y=3x+m，解得：m=-2或m=-$\frac{5}{4}$-ln2；
（2）f′（x）=$\frac{1}{x}$+2x-2a=$\frac{{2x}^{2}-2ax+1}{x}$，x∈[1，3]，
設g（x）=2x²-2ax+1，
假設函數(shù)f（x）在[1，3]上不存在單調遞增區(qū)間，必有g（x）≤0，
于是$\left\{\begin{array}{l}{g（1）=3-2a≤0}\\{g（3）=19-6a≤0}\end{array}\right.$，解得：a≥$\frac{19}{6}$，
故要使函數(shù)f（x）在[1，3]上存在單調遞增區(qū)間，
則a的范圍是（-∞，$\frac{19}{6}$）．

點評 本題考查了函數(shù)的單調性問題，考查曲線的切線方程以及導數(shù)的應用，是一道中檔題．