Question

8．已知點(diǎn)A（x₁，lgx₁），B（x₂，lgx₂）是函數(shù)f（x）=lgx的圖象上任意不同兩點(diǎn)，依據(jù)圖象可知，線段AB總是位于A，B兩點(diǎn)之間函數(shù)圖象的下方，因此有結(jié)論$\frac{lg{x}_{1}+lg{x}_{2}}{2}$＜lg（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）成立．運(yùn)用類比思想方法可知，若點(diǎn)A（x₁，${2}^{{x}_{1}}$），B（x₂，${2}^{{x}_{2}}$） 是函數(shù)g（x）=2^x的圖象上的不同兩點(diǎn)，則類似地有$\frac{{2}^{{x}_{1}}+{2}^{{x}_{2}}}{2}＞{2}^{\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}}$成立．

Answer 1

分析 在對(duì)數(shù)函數(shù)中，線段AB總是位于A，B兩點(diǎn)之間函數(shù)圖象的下方，而在指數(shù)函數(shù)中，線段AB兩點(diǎn)總是位于A，B兩點(diǎn)之間函數(shù)圖象的上方，類比對(duì)數(shù)函數(shù)中的結(jié)論可得指數(shù)函數(shù)g（x）=2^x中，有$\frac{{2}^{{x}_{1}}+{2}^{{x}_{2}}}{2}＞{2}^{\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}}$成立．

解答 解：A（x₁，lgx₁），B（x₂，lgx₂）是函數(shù)f（x）=lgx的圖象上任意不同兩點(diǎn)，線段AB總是位于A，B兩點(diǎn)之間函數(shù)圖象的下方，
有結(jié)論$\frac{lg{x}_{1}+lg{x}_{2}}{2}$＜lg（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）成立．
類比上式可得：若點(diǎn)A（x₁，${2}^{{x}_{1}}$），B（x₂，${2}^{{x}_{2}}$）是y=g（x）上兩點(diǎn)，而線段AB兩點(diǎn)總是位于A，B兩點(diǎn)之間函數(shù)圖象的上方，
有結(jié)論：$\frac{{2}^{{x}_{1}}+{2}^{{x}_{2}}}{2}＞{2}^{\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}}$．
故答案為：$\frac{{2}^{{x}_{1}}+{2}^{{x}_{2}}}{2}＞{2}^{\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題借助類別推理，通過函數(shù)圖象的形狀考查了函數(shù)的不等關(guān)系，屬于中檔題．