Question

1．如圖所示，在平面直角坐標系xOy中，已知過點A（0，2）的直線與拋物線C：x²=2py（p＞0）相交于兩點M，N，與直線y=-2相交于點P（M位于A，P之間），直線OM平分∠POA．
（1）求拋物線C的方程；
（2）若拋物線C在Q點處的切線為l₀，當(dāng)點A到直線l₀的距離最小時，求直線l₀的方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)點M（x₀，y₀），P（m，-2）．得出直線OP的方程，于是M到直線OP的距離等于M到y(tǒng)軸的距離，結(jié)合A，M，P三點共線列出方程組解出p，得出拋物線方程；
（2）設(shè)Q（a，$\frac{{a}^{2}}{2}$），求出l₀的方程，得到A到l₀的距離d關(guān)于a的函數(shù)，利用基本不等式得出函數(shù)取得最小值時a的值，從而得出l₀方程．

解答 解：（1）設(shè)點M（x₀，y₀），P（m，-2）．則直線OP的方程為：2x+my=0．
∵A，M，P三點共線，∴$\frac{{y}_{0}+2}{{x}_{0}-m}=\frac{4}{-m}$，即m=$\frac{4{x}_{0}}{2-{y}_{0}}$．
∵直線OM平分∠POA，
∴M到直線OP的距離等于M到y(tǒng)軸的距離．即$\frac{|2{x}_{0}+m{y}_{0}|}{\sqrt{{m}^{2}+4}}$=|x₀|．
∴4x₀²+4mx₀y₀+m²y₀²=4x₀²+mx₀²，即m=$\frac{4{x}_{0}{y}_{0}}{{{x}_{0}}^{2}-{{y}_{0}}^{2}}$=$\frac{4{x}_{0}{y}_{0}}{2p{y}_{0}-{{y}_{0}}^{2}}$=$\frac{4{x}_{0}}{2p-{y}_{0}}$．
∴$\frac{4{x}_{0}}{2-{y}_{0}}$=$\frac{4{x}_{0}}{2p-{y}_{0}}$，∴p=1．
∴拋物線C的方程為：x²=2y．
（2）∵x²=2y，∴y=$\frac{{x}^{2}}{2}$，∴y′=x．
設(shè)Q（a，$\frac{{a}^{2}}{2}$），則直線l₀的方程為；y-$\frac{{a}^{2}}{2}$=a（x-a），即ax-y-$\frac{{a}^{2}}{2}$=0．
∴A到直線l₀的距離為d=$\frac{|2+\frac{{a}^{2}}{2}|}{\sqrt{{a}^{2}+1}}$=$\frac{{a}^{2}+4}{2\sqrt{{a}^{2}+1}}$=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{{a}^{2}+1}$+$\frac{3}{\sqrt{{a}^{2}+1}}$）≥$\sqrt{3}$．
當(dāng)且僅當(dāng)$\sqrt{{a}^{2}+1}=\frac{3}{\sqrt{{a}^{2}+1}}$即a=$±\sqrt{2}$時取到等號．
∴當(dāng)點A到直線l₀的距離最小時，直線l₀的方程為$\sqrt{2}$x-y-1=0或-$\sqrt{2}$x-y-1=0．

點評 本題考查了拋物線的性質(zhì)，切線方程，距離公式的應(yīng)用，屬于中檔題．