Question

如圖，把邊長為10的正六邊形紙板剪去相同的六個(gè)角，做成一個(gè)底面為正六邊形的無蓋六棱柱盒子，設(shè)其高為h，體積為V（不計(jì)接縫）．
（Ⅰ）求出體積V與高h(yuǎn)的函數(shù)關(guān)系式并指出其定義域；
（Ⅱ）問當(dāng)h為多少時(shí)，體積V最大？最大值是多少？

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式在最值問題中的應(yīng)用,基本不等式

專題：應(yīng)用題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求出六棱柱的底邊長、底面積，可得體積V與高h(yuǎn)的函數(shù)關(guān)系式；
（Ⅱ）利用導(dǎo)數(shù)法，可求最大值．

解答： 解：（Ⅰ）由題意知，六棱柱的底邊長為10-

2 3

3

h，（1分）
底面積為6•

3

4

(10-

2 3

3

h)2（3分）
由10-

2 3

3

h＞0及h＞0得0＜h＜5

3

∴體積V=

3 3

2

(10-

2 3

3

h)2•h=2

3

(h3-10

3

h2+75h)，
其定義域?yàn)?span id="zdeetpk" class="MathJye">(0，5

3

)（6分）
（Ⅱ）由V′=2

3

(3h2-20

3

h+75)=0
得h=

5 3

3

或h=5

3

（舍去）  （8分）
∵0＜h＜

5 3

3

時(shí)，V′＞0；

5 3

3

＜h＜5

3

時(shí)，V′＜0．（10分）
∴當(dāng)h=

5 3

3

時(shí)V有最大值

1000

3

．（12分）

點(diǎn)評：本題考查體積的計(jì)算，考查利用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題，正確運(yùn)用導(dǎo)數(shù)法是關(guān)鍵．