Question

15．已知函數(shù)f（x）=ax+lnx，a∈R．
（1）求函數(shù)f（x）的極值；
（2）對(duì)于曲線上的不同兩點(diǎn)P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），如果存在曲線上的點(diǎn)Q（x₀，y₀），且x₁＜x₀＜x₂使得曲線在點(diǎn)Q處的切線l∥P₁P₂，則稱(chēng)l為弦P₁P₂的伴隨直線，特別地，當(dāng)x₀=λx₁+（1-λ）x₂（0＜λ＜1）時(shí)，又稱(chēng)l為P₁P₂的λ-伴隨直線．
①求證：曲線y=f（x）的任意一條弦均有伴隨直線，并且伴隨直線是唯一的；
②是否存在曲線C，使得曲線C的任意一條弦均有$\frac{1}{2}$-伴隨直線？若存在，給出一條這樣的曲線，并證明你的結(jié)論；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可；
（2）①問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證存在x₀∈（x₁，x₂），使得$a+\frac{1}{x_0}=\frac{{a{x_2}+ln{x_2}-a{x_1}-ln{x_1}}}{{{x_2}-{x_1}}}$，即x₀lnx₂-x₀lnx₁+x₁-x₂=0成立，且點(diǎn)Q不在P₁P₂上．設(shè)F（x）=xlnx₂-xlnx₁+x₁-x₂，0＜x＜x₂．根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可；②設(shè)R（x₃，y₃），S（x₄，y₄），求出RS的斜率，判斷結(jié)論即可．

解答 解：（1）${f^'}（x）=a+\frac{1}{x}，x＞0$，
當(dāng)a≥0時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在（0，+∞）內(nèi)是增函數(shù)，
∴函數(shù)f（x）沒(méi)有極值．
當(dāng)a＜0時(shí)，令f′（x）=0，得$x=-\frac{1}{a}$．
當(dāng)x變化時(shí)，f′（x）與f（x）變化情況如下表：

x	$（0，-\frac{1}{a}）$	$-\frac{1}{a}$	$（-\frac{1}{a}，+∞）$
f′（x）	+	0	-
f（x）	↗	極大值	↘

∴當(dāng)$x=-\frac{1}{a}$時(shí)，f（x）取得極大值$f（-\frac{1}{a}）=-1+ln（-\frac{1}{a}）$．
綜上，當(dāng)a≥0時(shí)，f（x）沒(méi)有極值；
當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）的極大值為$-1+ln（-\frac{1}{a}）$，沒(méi)有極小值．
（2）①證明：設(shè)P₁（x₁，f（x₁）），P₂（x₂，f（x₂））是曲線y=f（x）上的任意兩點(diǎn)，
要證明P₁，P₂有伴隨直線，只需證明存在點(diǎn)Q（x₀，f（x₀）），x₁＜x₀＜x₂，
使得${f^'}（{x_0}）=\frac{{f（{x_2}）-f（{x_1}）}}{{{x_2}-{x_1}}}$，且點(diǎn)Q不在P₁P₂上，
∵${f^'}（x）=a+\frac{1}{x}$，即證存在x₀∈（x₁，x₂），使得$a+\frac{1}{x_0}=\frac{{a{x_2}+ln{x_2}-a{x_1}-ln{x_1}}}{{{x_2}-{x_1}}}$，
即x₀lnx₂-x₀lnx₁+x₁-x₂=0成立，且點(diǎn)Q不在P₁P₂上．
以下證明方程xlnx₂-xlnx₁+x₁-x₂=0在（x₁，x₂）內(nèi)有解．
設(shè)F（x）=xlnx₂-xlnx₁+x₁-x₂，0＜x＜x₂．
則F（x₁）=x₁lnx₂-x₁lnx₁+x₁-x₂．
記g（x）=xlnx₂-xlnx+x-x₂，0＜x＜x₂，
∴g′（x）=lnx₂-lnx＞0，
∴g（x）在（0，x₂）內(nèi)是增函數(shù)，
∴F（x₁）=g（x₁）＜g（x₂）=0．
同理，F(xiàn)（x₂）＞0，∴F（x₁）F（x₂）＜0．
∴方程xlnx₂-xlnx₁+x₁-x₂=0在（x₁，x₂）內(nèi)有解x=x₀．
又對(duì)于函數(shù)g（x）=xlnx₂-xlnx+x-x₂，
∵0＜x₁＜x₀＜x₂，∴g（x₀）=x₀lnx₂-x₀lnx₀+x₀-x₂＜g（x₂）=0，
可知${f^'}（{x_0}）≠\frac{{f（{x_2}）-f（{x_0}）}}{{{x_2}-{x_0}}}$，即點(diǎn)Q不在P₁P₂上．
又F（x）=（lnx₂-lnx₁）x+x₁-x₂在（x₁，x₂）內(nèi)是增函數(shù)，
∴方程xlnx₂-xlnx₁+x₁-x₂=0在（x₁，x₂）內(nèi)有唯一解．
綜上，曲線y=f（x）上任意一條弦均有伴隨直線，并且伴隨直線是唯一的．
②取曲線C：y=h（x）=x²，則曲線y=h（x）的任意一條弦均有$\frac{1}{2}$-伴隨直線，證明如下：
設(shè)R（x₃，y₃），S（x₄，y₄），
則${k_{RS}}=\frac{{{y_4}-{y_3}}}{{{x_4}-{x_3}}}=\frac{x_4^2-x_3^2}{{{x_4}-{x_3}}}={x_4}+{x_3}$，
又h′（x）=2x，所以${h^'}（\frac{{{x_4}+{x_3}}}{2}）={x_4}+{x_3}={k_{RS}}$，
即y=x²的任意一條弦均有$\frac{1}{2}$-伴隨直線．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及轉(zhuǎn)化思想，是一道綜合題．