Question

（08年朝陽區(qū)綜合練習(xí)一）（13分）

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=120°，AC=CB=A₁A=1，D₁是A₁B₁上一動(dòng)點(diǎn)(可

以與A₁或B₁重合），過D₁和C₁C的平面與AB交于D.

（Ⅰ）證明BC∥平面AB₁C₁；

（Ⅱ）若D₁為A₁B₁的中點(diǎn)，求三棱

錐B₁-C₁AD₁的體積；

（Ⅲ）求二面角D₁-AC₁-C的取值范圍.

 

Answer 1

解析：方法1：

（Ⅰ）證明：依條件有CB∥C₁B₁，

 又C₁B₁平面A B₁C₁，

CB平面A B₁C₁，

所以CB∥平面A B₁C₁.…………………3分

 

（Ⅱ）解：

     因?yàn)镈為AB的中點(diǎn)，

     依條件可知C₁D⊥A₁B₁.

所以=

=×C₁D₁×(×A₁A×D₁B₁)

= ××(×1×)=.………………………………………………………7分

（Ⅲ）解：

因?yàn)镈₁是A₁B₁上一動(dòng)點(diǎn)，

 所以當(dāng)D₁與A₁重合時(shí)，二面角D₁-

AC₁-C的大小為π；    ……………………………………………………………9分

當(dāng)D₁與B₁重合時(shí)，

如圖，分別延長A₁C₁和AC₁，

過B₁作B₁E⊥A₁C₁延長于E，

依條件可知平面A₁B₁C₁⊥平面

ACC₁A₁，

所以B₁E⊥平面ACC₁A₁.

     過點(diǎn)E作EF⊥A₁C₁，垂直為F.

     連結(jié)FB₁，

     所以FB₁⊥A₁C₁.

     所以∠B₁FE是所求二面角的平面角.   ……………………………………………11分

     容易求出B₁E=，F(xiàn)E=.

     所以tan∠B₁FE==.

所以∠B₁FE= arctan. （或arccos）

所以二面角D₁-AC₁-C的取值范圍是[arctan，π]（或[arccos，π]）.……13分

 

方法2：

 

（Ⅰ），（Ⅱ）略

（Ⅲ）解：

如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

 

則有A(1，0，0)，B₁(-，，1)，

C₁(0，0，1).

 因?yàn)镈₁是A₁B₁上一動(dòng)點(diǎn)，

 所以當(dāng)D₁與A₁重合時(shí)，二面角

D₁-AC₁-C的大小為π；……………………………………………………………9分

當(dāng)D₁與B₁重合時(shí)，

 顯然向量n₁=(0，1，0)是平面A

CC₁A₁的一個(gè)法向量.

     因?yàn)?IMG height=27 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090420/20090420091528016.gif' width=29>=(1，0，-1)，

     =(-，，1)，

設(shè)平面C₁AB₁的法向量是n₂=(x，y，z)，

由?n₂=0，?n₂=0，解得平面C₁AB₁的一個(gè)法向量n₂=(1，，1).

因?yàn)閚₁?n₂=，| n₁|=1，| n₂|=，

設(shè)二面角B₁-AC₁-C的大小為β，

所以cosβ=.

即β=arccos.

所以二面角D₁-AC₁-C的取值范圍是[arccos，π]（或[arctan，π]）.…13分