Question

已知函數(shù)f（x）=

mx

x2+n

（m，n∈R）在x=1處取到極值2．
（1）求f（x）的解析式；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=ax-lnx．若對任意的x₁∈[

1

2

，2]，總存在唯一的x₂∈[

1

e2

，e]（e為自然對數(shù)的底），使得g（x₂）=f（x₁），求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，利用f（x）在x=1處取到極值2，可得f′（1）=0，f（1）=2，由此可求f（x）的解析式；
（2）確定f（x）在(

1

2

，1)上單調(diào)遞增，在（1，2）上單調(diào)遞減，從而可得f（x）的值域；依題意g′(x)=a-

1

x

，記M=[

1

e2

，e]，從而可得

1

e

≤

1

x

≤e2，再分類討論，確定g（x）在M上單調(diào)性，即可求a取值范圍．

解答：解：（1）f′(x)=

m(x2+n)-2mx2

(x2+n)2

=

-mx2+mn

(x2+n)2

…（2分）
∵f（x）在x=1處取到極值2，∴f′（1）=0，f（1）=2
∴

mn-m (1+n)2 =0 m 1+n =2

，解得m=4，n=1，
故f(x)=

4x

x2+1

…（5分）
（2）由（1）知f′(x)=

4(1-x)(1+x)

(x2+1)2

，故f（x）在(

1

2

，1)上單調(diào)遞增，在（1，2）上單調(diào)遞減，
由f(1)=2，f(2)=f(

1

2

)=

8

5

，故f（x）的值域為[

8

5

，2]…（7分）
依題意g′(x)=a-

1

x

，記M=[

1

e2

，e]，
∵x∈M
∴

1

e

≤

1

x

≤e2
（ⅰ）當a≤

1

e

時，g'（x）≤0，g（x）在M上單調(diào)遞減，
依題意由

a≤ 1 e g(e)≤ 8 5 g( 1 e2 )≥2

，得0≤a≤

1

e

，…（8分）
（ⅱ）當

1

e

＜a≤e2時，e＞

1

a

＞

1

e2

當x∈(

1

e2

，

1

a

)時，g′（x）＜0，當x∈(

1

a

，e)時，g′（x）＞0
依題意得：

1 e ＜a＜e2 g(e)＜ 8 5 g( 1 e2 )≥2

或

1 e ＜a＜e2 g(e)≥2 g( 1 e2 )＜ 8 5

，解得

1

e

＜a＜

13

5e

，…（10分）
（ⅲ）當a＞e²時，

1

a

＜

1

e2

，此時g′（x）＞0，g（x）在M上單調(diào)遞增，依題意得

a＞e2 g(e)≥2 g( 1 e2 )≤ 8 5

，即

a＞e2 ea-1≥2 a e2 +2≤ 8 5

，此不等式組無解 …（11分）．
綜上，所求a取值范圍為0≤a≤

13

5e

…（14分）

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性與極值，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力，有一定的難度．