Question

3．設函數y=f（x）在（a，b）上的導函數為f′（x），f′（x）在（a，b）上的導函數為f″（x），若在（a，b）上，f″（x）＞0恒成立，則稱函數y=f（x）在（a，b）上為“凹函數”．若f（x）=x²-ae^x+2是（-∞，0）上的“凹函數”，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 f（x）=x²-ae^x+2是（-∞，0）上的“凹函數”，可得在（-∞，0）上，f″（x）＞0恒成立，利用導數的運算法則分別可得f′（x），f^″（x），轉化為$a＜（\frac{2}{{e}^{x}}）_{min}$，x∈（-∞，0）．即可得出．

解答 解：f′（x）=2x-ae^x，f^″（x）=2-ae^x，
∵f（x）=x²-ae^x+2是（-∞，0）上的“凹函數”，
∴在（-∞，0）上，f″（x）＞0恒成立，
∴2-ae^x＞0在（-∞，0）上恒成立，
∴$a＜（\frac{2}{{e}^{x}}）_{min}$，x∈（-∞，0）．
∵$\frac{2}{{e}^{x}}$＞2，
∴a≤2．
∴實數a的取值范圍是（-∞，2]．

點評 本題考查了“凹函數”的定義及其性質、導數的運算法則、恒成立問題的等價轉化，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．