已知橢圓：的左、右焦點和短軸的兩個端點構(gòu)成邊長為2的正方形．

（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過點的直線與橢圓相交于，兩點．點，記直線的斜率分別為，當最大時，求直線的方程．

（Ⅰ）橢圓的方程為；（Ⅱ）直線的方程為．

解析試題分析：（Ⅰ）由已知，橢圓：的左、右焦點和短軸的兩個端點構(gòu)成邊長為2的正方形，所以，利用，可得，又橢圓的焦點在軸上，從而得橢圓的方程；（Ⅱ）需分直線的斜率是否為0討論．①當直線的斜率為0時，則；②當直線的斜率不為0時，設(shè)，，直線的方程為，將代入，整理得．利用韋達定理列出．結(jié)合，，列出關(guān)于的函數(shù)，應(yīng)用均值不等式求其最值，從而得的值，最后求出直線的方程．
試題解析：（Ⅰ）由已知得（2分），又，∴橢圓方程為（4分）
（Ⅱ）①當直線的斜率為0時，則；       6分
②當直線的斜率不為0時，設(shè)，，直線的方程為，
將代入，整理得．
則，．      8分
又，，
所以，=
 10分．
令，則
所以當且僅當，即時，取等號． 由①②得，直線的方程為．13分．
考點：1．橢圓方程的求法；2．直線和橢圓位置關(guān)系中最值問題；3．均值不等式．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知拋物線的焦點為，準線為，點為拋物線C上的一點，且的外接圓圓心到準線的距離為．

（I）求拋物線C的方程；
（II）若圓F的方程為，過點P作圓F的2條切線分別交軸于點，求面積的最小值時的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知頂點在原點，焦點在軸上的拋物線過點.
（1）求拋物線的標準方程；
（2）若拋物線與直線交于、兩點，求證：.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓的離心率，連接橢圓的四個頂點得到的菱形的面積為4.
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)直線與橢圓相交于不同的兩點A,B。已知點A的坐標為。若，求直線的傾斜角。

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖,在平面直角坐標系中,已知橢圓經(jīng)過點,橢圓的離心率.

（1）求橢圓的方程；
（2）過點作兩直線與橢圓分別交于相異兩點、.若的平分線與軸平行, 試探究直線的斜率是否為定值？若是, 請給予證明；若不是, 請說明理由.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

矩形的中心在坐標原點，邊與軸平行，=8，=6.分別是矩形四條邊的中點，是線段的四等分點,是線段的四等分點.設(shè)直線與,與,與的交點依次為.

（1）求以為長軸，以為短軸的橢圓Q的方程；
（2）根據(jù)條件可判定點都在（1）中的橢圓Q上，請以點L為例，給出證明（即證明點L在橢圓Q上）.
（3）設(shè)線段的（等分點從左向右依次為，線段的等分點從上向下依次為，那么直線與哪條直線的交點一定在橢圓Q上？（寫出結(jié)果即可，此問不要求證明）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知圓直線與圓相切，且交橢圓于兩點，是橢圓的半焦距，，
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）O為坐標原點，若求橢圓的方程；
(Ⅲ) 在（Ⅱ）的條件下，設(shè)橢圓的左右頂點分別為A，B，動點，直線AS，BS與直線分別交于M,N兩點，求線段MN的長度的最小值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

設(shè)拋物線的焦點為，準線為，，以為圓心的圓與相切于點，的縱坐標為，是圓與軸除外的另一個交點.
(I)求拋物線與圓的方程；
( II)已知直線，與交于兩點，與交于點,且， 求的面積．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓：，
（1）若橢圓的長軸長為4，離心率為，求橢圓的標準方程；
（2）在（1）的條件下，設(shè)過定點的直線與橢圓交于不同的兩點，且為銳角（為坐標原點），求直線的斜率的取值范圍；
（3）過原點任意作兩條互相垂直的直線與橢圓：相交于四點，設(shè)原點到四邊形的一邊距離為，試求時滿足的條件.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案