已知圓直線與圓相切，且交橢圓于兩點，是橢圓的半焦距，，
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）O為坐標原點，若求橢圓的方程；
(Ⅲ) 在（Ⅱ）的條件下，設橢圓的左右頂點分別為A，B，動點，直線AS，BS與直線分別交于M,N兩點，求線段MN的長度的最小值.

（Ⅰ）；（Ⅱ）橢圓的方程為；(Ⅲ).

解析試題分析：（Ⅰ）直線與圓相切，則圓心到直線的距離等于半徑.設圓的圓心為半徑分別為，直線的方程為.若直線與圓相切，則圓心到直線的距離，將已知條件代入這個公式，即可得的值.
(Ⅱ)將代入得：得關于的二次方程.設則是這個方程的兩個根.因為，所以，再結合韋達定理，可得一個含的等式，與聯(lián)立解方程組即可求得的值.
(Ⅲ)思路一、在（Ⅱ）的條件下，橢圓的方程為：，動點，則將其代入橢圓方程，便得：①.設，，則.兩式相乘再利用①式可消去得，再用重要不等式便可得線段MN的長度的最小值.
思路二、選定一個量作為變量，其余的量都用這個量來表示，最終用這個量表示出線段MN的長度.
那么選哪 一個量作為變量呢？顯然直線AS的斜率存在，設為且，然后用表示出點的坐標，從而表示出線段MN的長度.再用重要不等式便可得線段MN的長度的最小值.
試題解析：（Ⅰ）直線與圓相切,所以   4分
(Ⅱ) 將代入得：
得:        ①
設則
   ②
因為
由已知代人②
所以橢圓的方程為                              8分
(Ⅲ)法一、在（Ⅱ）的條件下，橢圓的方程為：，將動點的坐標代入橢圓方程，便得：                     ①
設，，則.兩式相乘得     ②
由①得：，代入②得：，顯然異號.
所以線段MN的長度，當時取等號.
法二、顯然直線AS的斜率存在，設為且則
依題意，由得：
設則即
，又B（2，0）所以  BS：
由 
所以時：       &n

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

為橢圓上任意一點，、為左右焦點．如圖所示：

（1）若的中點為，求證；
（2）若，求的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

在直角坐標系中，為坐標原點，如果一個橢圓經過點P(3,),且以點F(2,0)為它的一個焦點.
（1）求此橢圓的標準方程；
（2）在（1）中求過點F(2,0)的弦AB的中點M的軌跡方程.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓：的左、右焦點和短軸的兩個端點構成邊長為2的正方形．

（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過點的直線與橢圓相交于，兩點．點，記直線的斜率分別為，當最大時，求直線的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知定點F(2,0)和定直線，動圓P過定點F與定直線相切，記動圓圓心P的軌跡為曲線C
（1）求曲線C的方程.
（2）若以M(2,3)為圓心的圓與拋物線交于A、B不同兩點，且線段AB是此圓的直徑時，求直線AB的方程

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓：（）的右焦點，右頂點,右準線且．

（1）求橢圓的標準方程；
（2）動直線：與橢圓有且只有一個交點，且與右準線相交于點，試探究在平面直角坐標系內是否存在點，使得以為直徑的圓恒過定點？若存在，求出點坐標；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓拋物線的焦點均在軸上，的中心和 的頂點均為坐標原點從每條曲線上取兩個點，將其坐標記錄于下表中：











（Ⅰ）求分別適合的方程的點的坐標；
（Ⅱ）求的標準方程.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖已知橢圓的中點在原點，焦點在x軸上，長軸是短軸的2倍且過點，平行于的直線在y軸的截距為，且交橢圓與兩點，

（1）求橢圓的方程；（2）求的取值范圍；（3）求證：直線、與x軸圍成一個等腰三角形，說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

拋物線M： 的準線過橢圓N： 的左焦點，以坐標原點為圓心，以t（t>0）為半徑的圓分別與拋物線M在第一象限的部分以及y軸的正半軸相交于點A與點B，直線AB與x軸相交于點C.

（1）求拋物線M的方程.
（2）設點A的橫坐標為x1，點C的橫坐標為x2，曲線M上點D的橫坐標為x1+2，求直線CD的斜率.

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