Question

在三棱錐C－ABD中(如圖)，△ABD與△CBD是全等的等腰直角三角形，O為斜邊BD的中點(diǎn)，AB＝4，二面角A－BD－C的大小為60°，并給出下面結(jié)論：①AC⊥BD；②AD⊥CO；③△AOC為正三角形；④cos ∠ADC＝；⑤四面體ABCD的外接球的表面積為32π.

其中真命題是(　　)

A．②③④                               B．①③④ 

C．①④⑤                               D．①③⑤

Answer 1

D

[解析]　由題意知，BC＝CD＝AD＝AB，且BC⊥CD，BA⊥AD.因?yàn)?i>O是斜邊BD的中點(diǎn)，所以OC⊥BD，OA⊥BD，且OC＝OA＝BD，所以∠AOC是二面角A－BD－C的一個(gè)平面角，所以∠AOC＝60°，所以△AOC是正三角形，即③正確．而OC∩OA＝O，所以BD⊥平面AOC，所以BD⊥AC，即①正確．若AD⊥CO，則由CO⊥BD可得CO⊥平面ABD，所以CO⊥OA，這與∠AOC＝60°矛盾，所以②不正確．因?yàn)?i>AB＝CD＝AD＝4，AC＝2，所以cos ∠ADC＝＝，所以④不正確．因?yàn)?i>OB＝OC＝OA＝OD，所以O是四面體ABCD的外接球的球心，外接球的表面積為4π×(2)²＝32π，即⑤正確．

綜上所述，真命題是①③⑤.