【題目】如圖，在四棱錐中， 平面，四邊形是菱形， ， ，且， 交于點(diǎn)， 是上任意一點(diǎn).

（1）求證： ；

（2）已知二面角的余弦值為，若為的中點(diǎn)，求與平面所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】試題分析：（1）線線垂直問題轉(zhuǎn)化為線面問題即可解決，即 ，由平面，得，又分析可知，且，所以（2）解法1：（空間向量在立體幾何中的應(yīng)用）設(shè)與平面所成的角為，即與平面所成角為與平面的法向量所成角，如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)則， ，

平面的一個(gè)法向量為（1,0,0），，得到

再由二面角的余弦值為， ，解得，

故， ，最后求得；

解法2：通過構(gòu)造法作出二面角的平面角,

設(shè)DP=t， 作出二面角的平面角,

由，求出點(diǎn)到平面的距離

試題解析：（1）因?yàn)?/span>平面，所以， 1分

因?yàn)樗倪呅?/span>為菱形，所以2分

又

因?yàn)?/span>5分

（2）解法1:

連接在中，

所以分別以所在直線為軸， 軸， 軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)則， ． 6分

由（1）知，平面的一個(gè)法向量為（1,0,0）， 設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則得，令，得8分

因?yàn)槎娼?/span>的余弦值為，所以，

解得或（舍去），所以10分

設(shè)與平面所成的角為．因?yàn)?/span>， ，

∴

所以與平面所成角的正弦值為． 12分

解法2:

設(shè)DP=t， 作出二面角的平面角

由，求出點(diǎn)到平面的距離

．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知等差數(shù)列{an}的公差d＞0.設(shè){an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1，S2·S3＝36.

(1)求d及Sn；

(2)求m，k(m，k∈N*)的值，使得am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋k＝65.

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【題目】已知某運(yùn)動(dòng)員每次投籃命中的概率等于 .現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)該運(yùn)動(dòng)員三次投籃恰有兩次命中的概率：先由計(jì)算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0，表示不命中；再以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，代表三次投籃的結(jié)果.經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了如下20組隨機(jī)數(shù)：

907 966 191 925 271 932 812 458 569 683

431 257 393 027 556 488 730 113 537 989

據(jù)此估計(jì)，該運(yùn)動(dòng)員三次投籃恰有兩次命中的概率為__________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镽，當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＞1，且對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，y∈R，等式f（x）f（y）=f（x+y）成立，若數(shù)列{an}滿足 ，（n∈N*），且a1=f（0），則下列結(jié)論成立的是（ ）
A.f（a2013）＞f（a2016）
B.f（a2014）＞f（a2015）
C.f（a2016）＜f（a2015）
D.f（a2014）＜f（a2016）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為了提高產(chǎn)品的年產(chǎn)量，某企業(yè)擬在2013年進(jìn)行技術(shù)改革，經(jīng)調(diào)查測(cè)算，產(chǎn)品當(dāng)年的產(chǎn)量x萬件與投入技術(shù)改革費(fèi)用m萬元（m≥0）滿足x=3﹣ （k為常數(shù)）．如果不搞技術(shù)改革，則該產(chǎn)品當(dāng)年的產(chǎn)量只能是1萬件．已知2013年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為8萬元，每生產(chǎn)1萬件該產(chǎn)品需要再投入16萬元．由于市場(chǎng)行情較好，廠家生產(chǎn)均能銷售出去，廠家將每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為每件產(chǎn)品生產(chǎn)成本的1.5倍（生產(chǎn)成本包括固定投入和再投入兩部分資金）
（1）試確定k的值，并將2013年該產(chǎn)品的利潤(rùn)y萬元表示為技術(shù)改革費(fèi)用m萬元的函數(shù)（利潤(rùn)=銷售金額﹣生產(chǎn)成本﹣技術(shù)改革費(fèi)用）；
（2）該企業(yè)2013年的技術(shù)改革費(fèi)用投入多少萬元時(shí)，廠家的利潤(rùn)最大？并求出最大利潤(rùn)．

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（2）若c= ，且sinC+sin（B﹣A）=5sin2A，求△ABC的面積．

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（2）數(shù)列{an}和數(shù)列{bn}滿足等式 （n∈N*），求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn．

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A. B. C. D.

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