Question

已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓C右焦點(diǎn)F（1，0），且e=

1

2

．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若直線l：y=kx+m與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)（A，B都不是頂點(diǎn)），且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點(diǎn)，求證：直線l過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）利用橢圓C右焦點(diǎn)F（1，0），且e=

1

2

，求出a，b，即可求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）直線l：y=kx+m與橢圓聯(lián)立，利用以AB為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn)D（2，0），可得k_ADk_BD=-1，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（I）由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
由已知得：e=

1

2

且c=1，
∴a=2，∴b²=a²-c²=3．
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

4

+

y2

3

=1．                            …（4分）
（II）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立

y=kx+m x2 4 + y2 3 =1.

得（3+4k²）x²+8mkx+4（m²-3）=0，

△=64m2k2-16(3+4k2)(m2-3)＞0，即3+4k2-m2＞0 x1+x2=- 8mk 3+4k2 x1•x2= 4(m2-3) 3+4k2 .

…（7分）
又y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2=

3(m2-4k2)

3+4k2

，…（8分）
因?yàn)橐訟B為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn)D（2，0），
∴k_ADk_BD=-1，即

y1

x1-2

•

y2

x2-2

=-1，
∴y₁y₂+x₁x₂-2（x₁+x₂）+4=0，
∴

3(m2-4k2)

3+4k2

+

4(m2-3)

3+4k2

+

16mk

3+4k2

+4=0，
∴7m²+16mk+4k²=0．
解得：7m+2k=0或m+2k=0…（10分）
∴直線l過點(diǎn)(

2

7

，0)或點(diǎn)（2，0）（舍）                        …（12分）

點(diǎn)評：本題考查圓錐曲線與方程．直線系過定點(diǎn)時(shí)，必需是直線系中的參數(shù)為但參數(shù)，對于含有雙參數(shù)的直線系，就要找到兩個(gè)參數(shù)之間的關(guān)系把直線系方程化為單參數(shù)的方程，然后把x，y當(dāng)作參數(shù)的系數(shù)把這個(gè)方程進(jìn)行整理，使這個(gè)方程關(guān)于參數(shù)無關(guān)的成立的條件就是一個(gè)關(guān)于x，y的方程組，以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)就是直線系過的定點(diǎn)．